Existencia de una bola cuyas imágenes bajo dos funciones continuas son disjuntas.

Question

Deje que$f,g: X \to \mathbb{R}^{n}$ sea una función continua en el punto$a$. Si$f(a)\neq g(a)$, muestra que existe una bola abierta B con centro$a$ tal que$\forall x,y \in B \Rightarrow f(x)\neq g(y)$.

Mis pensamientos:

$b=|f(a)-g(a)|\neq 0.$ Para$\epsilon=b/2$, hay$\delta_{1}>0$ tal que$|x-a|<\delta_{1} \Rightarrow |(f(x)-g(x))-(f(a)-g(a))|<\epsilon = b/2$. Entonces $ | f (x) -g (x) |> b / 2 $.

Ahora $|f(x)-g(y)|+|g(y)-g(a)| \geq |f(a)-g(a)|=b>0$

$c=|g(a)|$. Para$\epsilon =\min\{c/2,b/2\}=d$, hay$\delta_{2}$ tal que$|x-a|<\delta_{2} \Rightarrow |g(a)-g(x)|<d$.

Si$x,y \in B_{\delta}(a), \delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$, entonces$|f(x)-g(y)|>b-d>0$.

Creo que es correcto, pero no estoy seguro.

Answer 1

Construya una bola$F \in \mathbb{R} ^n$ centrada en$f(a) $ y otra bola$G\in\mathbb{R} ^n$ centrada en$g(a) $ tal que$F\cap G=\emptyset$. Esto es posible porque$f(a) \neq g(a) $. Por continuidad tenemos una bola$A\subseteq X$ centrada en$a$ tal que$f(A) \subseteq F$ y similarmente otra bola$B\subseteq X$ centrada en$a$ tal que$g(B) \subseteq G$. La bola$C=A\cap B$ es nuestra bola deseada tal que$f(C) \cap g(C) =\emptyset$.

Answer 2

También se puede probar por contraposición. Supongamos que en cada bola$B$ centrada en$a$, existen puntos$x, y\in B$ de tal manera que$f(x)=g(y)$. Al tomar bolas de radio$\dfrac{1}{n}$,$n\geq 1$, obtenemos una secuencia de puntos$x_n$ y$y_n$, de manera que$|x_n-a|, |y_n-a|<\dfrac{1}{n}$ y$f(x_n)=g(y_n)$. Obviamente,$x_n\rightarrow a$ y$y_n\rightarrow a$ como$n\rightarrow\infty$. Ya que$f$ y$g$ son continuos, entonces$$\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a),\;\;\; \lim_{n\rightarrow \infty}g(y_n)=g(a)$$ and therefore $ f (a) = g (a) $.