Utilizar el orden alternativo de las operaciones

Question

Imaginemos, por un momento, que utilizamos PEASMD en lugar de PEMDAS. Es decir, se intercambian la suma/resta y la multiplicación/división. ¿Es posible escribir: $$(a\times b)+c$$ ¿sin paréntesis?

EDITAR: Por ejemplo, la expresión $(a\times b)+a+b+1$ puede escribirse como $a+1\times b+1$ que no utiliza paréntesis.

Answer 1

$(a*b)+c=a*b+\frac{c}{a}$ siempre que permita que las fracciones horizontales tengan paréntesis implícitos.

Esa es una de las igualdades más extrañas que he escrito...

Para ver esto, observe que según el PEASMD, $a*b+\frac{c}{a}=a*(b+(c/a))$ (nótese el uso del paréntesis implícito para las fracciones horizontales.) entonces por distribución obtenemos $ (a*b)+(a*(c/a)) $ o $(a*b)+c$

Answer 2

Nota: Esta no es una respuesta completa, pero creo que ofrece algunas ideas útiles para entender la naturaleza de la pregunta y también proporciona un esbozo de solución.

Se trata de una cuestión de sintaxis. ¿Existe una cadena de símbolos que, sin paréntesis y con la precedencia de operadores dada, se evalúe como el mismo término que $(a \times b) + c$ para todos los valores de $a, b, c$ . Debemos preguntarnos entonces, ¿cuáles son los símbolos permitidos y qué significa la evaluación? He aquí un sencillo comienzo para responder a esta pregunta. No es, ni mucho menos, "el" enfoque correcto, pero pone de manifiesto la sutileza de los supuestos subyacentes necesarios, y destaca que se trata realmente de una cuestión de sintaxis formal.

Para empezar, tenemos un lenguaje de expresiones. Éstas se escriben como secuencias alternas de símbolos y operadores, de longitud siempre impar. Un símbolo es una "variable" o una constante conocida. Una variable es cualquier cadena de letras, por ejemplo. Esto incluye las cadenas "a", "b" y "c". Un operador es uno de los $5$ operadores estándar $+, -, \times$ \ y ^. Una constante es $e$ , $2$ etc. Por el momento, no permitiremos ningún otro símbolo, por ejemplo, funciones conocidas como el seno o el coseno.

El significado de dicha lista es una función en todas sus variables. Esta función se define inequívocamente mediante corchetes según las reglas de precedencia. Asumimos una notación infija para los operadores. Por ejemplo, $[x, \times, 2, \times, 3]$ "significa" la función $\lambda x \rightarrow 6x$ utilizando la notación del cálculo lambda.

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Edición: Para demostrar un caso especial de esto ignorando la exponenciación reducimos todo a una forma normal. Primero observamos que todo puede escribirse como un producto de sumas, siendo los términos de las sumas las variables $a$ , $b$ o $c$ o constantes.

• Podemos ignorar las apariciones de otras variables porque, tendrán que anularse para dejarnos con un término en sólo $a$ , $b$ y $c$ por lo que podemos sustituirlos por cualquier constante que queramos y el término se reduce a uno sólo en aquellos $3$ variables.
• La razón por la que podemos ignorar la división es la siguiente. Supongamos un término de suma $(a + b + c + \dots)$ apareció en el denominador. Entonces, o bien es constante, en cuyo caso se puede sustituir por la multiplicación por $\frac{1}{a + b + c + \dots}$ , que a su vez es sólo una constante. En caso contrario, el término contiene al menos una variable $a$ , $b$ o $c$ . En este caso, podemos hacer que el término sea cero mediante la elección adecuada de $a$ , $b$ y $c$ y todo el término se vuelve indefinido. Esto no puede suceder, por lo que tal caso no puede ser permitido.

Ahora, podemos reducir aún más a un producto de sumas en el que cada suma tiene al menos una variable, a lo sumo una constante, y el conjunto se multiplica por una constante. Es decir:

$$(x_{1, 1} + x_{1, 2} + \dots + c_1)(x_{2, 1} + x_{2, 2} + \dots +c_2)\dots(x_{n, 1} + x_{n, 2} + \dots + c_n)c$$

Para algunas constantes $c_i, c$ , variables $x_{i, j} \in \{a, b, c\}$ .

A continuación, demostramos que $n \leq 2$ . En caso contrario, para el caso de $a = b = c$ tenemos un polinomio cúbico que es igual a un cuadrático, lo que no puede ser cierto para todo $a$ . Ahora también podemos mostrar $n \geq 2$ y así $n = 2$ . Esto es cierto porque, de lo contrario, obtenemos un término lineal frente a uno cuadrático, lo que no puede ser cierto en todos los casos. Así que nuestro término es siempre:

$$(x_{1, 1} + x_{1, 2} + \dots + c_1)(x_{2, 1} + x_{2, 2} + \dots +c_2)c$$

Ahora, el ajuste $a$ y $c$ a $0$ este término debe ser igual a $0$ para todos $b$ . Así que $b$ no puede aparecer en ninguna de las dos sumas. Pero esto es imposible, porque entonces este término es constante con respecto a $b$ mientras que el término original $(a \times b) + c$ no lo es. Esto es una contradicción, y por lo tanto, sin la exponenciación, una declaración equivalente sin corchetes es imposible.

Nota: el caso de la exponenciación debería seguirse de argumentos similares de la complejidad de la función (tasa de crecimiento).