Usando complejos exponenciales como solución de EDO.

Question

Estoy teniendo problemas para envolver mi cabeza en torno a la siguiente cuestión. Mi libro resuelve un problema sin utilizar complejos solución exponencial como $C_1 e^{it}$ y el uso de cualquiera de las $A \cos(t) + B \sin(t)$ o $A \cos(t+\phi)$ a un segundo orden "no amortiguados lineal de la educación a distancia. Entiendo que la solución puede ser puramente real o complejo. El problema surge cuando yo uso la solución a esta ODA dentro de otra función que los cubos de esta solución. Cubicación $C_1 e^{it}$ resultados en otro complejo de la sinusoide con 3 veces la frecuencia, que es un efecto muy diferente de cubicación algo como $A \cos(t+\phi)$

Aquí está mi trabajo. He resaltado donde creo que las cosas han ido mal.

Answer 1

El complejo exponencial soluciones sentido lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias, porque usted puede conseguir un polinomio característico ya que la exponencial es la eigenfunction del operador de la derivada. La razón de por qué una solución compleja veces cualquier constante es todavía una solución compleja es debido a la linealidad en los lineales de la educación a distancia. Si $x(t)$ es una solución de e $i*y(t)$ es una solución, entonces cualquier combinación lineal es también una solución. Aditividad y la homogeneidad no son propiedades de las soluciones de una no-lineal de la educación a distancia y así no tiene sentido suponer que la solución es de la forma $e^{st}$ .

Answer 2

Si realiza el cubo$cos(t)$, obtiene$(3cos(t) + cos(3t))/4$, por lo que la frecuencia triple también se muestra aquí.