Encontrando $P(X < Y)$ donde $X$ y $Y$ son variables aleatorias uniformes independientes

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ son dos variables uniformes independientes en los intervalos $(0,2)$ y $(1,3)$ respectivamente. Necesito encontrar $P(X < Y)$ .

Lo he intentado de esta manera: $$ \begin{eqnarray} P(X < Y) &=& \int_1^3 \left\{\int_0^y f_X(x) dx\right\}g_Y(y) dy\\ &=& \frac{1}{4} \int_1^3 \int_0^y dx dy\\ &=& \frac{1}{4} \int_1^3 y dy\\ &=& \frac{1}{8} [y^2]_1^3\\ &=& 1 \end{eqnarray} $$ Pero sospecho de este resultado. Implica que $X<Y$ es un hecho seguro, lo que no es en absoluto cierto.

Answer 1

Este boceto puede ayudar. Usted quiere que el área roja sea una proporción de las áreas rojas y azules.

Answer 2

$$\begin{align} \mathsf P(X < Y) &=\int_1^3 \left\{\int_0^y f_X(x) \operatorname dx\right\}g_Y(y) \operatorname dy\\ &\neq \tfrac{1}{4} \int_1^3 \int_0^y \operatorname dx \operatorname dy \end{align}$$ Este es el problema.   El límite superior de la integral interna debería ser $\min(2, y)$ porque el apoyo a $X$ es $(0;2)$ .   Cuidado con esto.

$$\begin{align} \mathsf P(X < Y) &= \tfrac{1}{4} \int_1^3 \int_0^{\min(2,y)} \operatorname dx \operatorname dy \\& = \tfrac 1 4 \left(\int_1^2\int_0^y\operatorname d x\operatorname d y + \int_2^3\int_0^2 \operatorname dx \operatorname d y\right) \\& =\tfrac 1 4\left({\int_1^2 y\operatorname d y+\int_2^3 2 \operatorname d y }\right) \\& =\tfrac 1 4\left(\tfrac 1 2(2^2-1^2)+ 2(3-2)\right) \\& =\tfrac 7 8 \end{align}$$

Eso es todo.

Answer 3

Si quieres resolver el problema usando integrales entonces debes notar que tienes un límite superior equivocado en la integral interna. Debería ser min(y,2).

Answer 4

Podemos dibujar el rectángulo y su interior $ 0 \leq x \leq 2$ y $1 \leq y \leq 3$ . Entonces podemos trazar la línea $y=x$ . Veamos nuestro evento. Así que deberíamos trazar la línea $y=x$ . Ahora, la región delimitada viene dada por el triángulo cuyos vértices son $(1,1)$ , $(2,2)$ y $(2,1)$ La probabilidad es $\int\limits_{1}^{2}\int\limits_{1}^{x} \frac{1}{4}dydx$ .

Answer 5

Dividir el entero y utilizar el Teorema de Baye para obtener

$$P(X<Y) = P(X<Y | X<1) P(X<1) + P(X<Y|X\geq1)P(X\geq 1))$$

sind $X$ es uniforme en $(0,2)$ sabemos que $P(X<1)=P(X>1) = \frac12$ . Además, $P(X<Y|X<1) = 1$ desde $Y$ es uniforme en $(1,3)$ . Esto da como resultado $$P(X<Y) = 1 \cdot \frac12 + P(X<Y|X\geq1)\frac12$$

Ahora $P(X<Y| X\geq 1) = P(X'<Y)$ donde $X'$ es $\mathcal{U}(1,2)$ . Podemos volver a dividir esto y utilizar la de Baye para \begin{align}P(X'<Y) &= P(X'<Y| Y<2)P(Y<2) + P(X'<Y| Y\geq 2)P(Y\geq2) \\ &= P(X'<Y|Y<2)\frac12 + 1\cdot \frac12 \end{align} Ahora $P(X'<Y|Y<2) = P(X'<Y')$ avec $Y'$ uniforme en $(1,2)$ . Ya que también $X$ es uniforme en $(1,2)$ tenemos $P(X'<Y') = \frac12$ .

Juntando todo obtenemos \begin{align} P(X<Y) = \frac12 + \left(\frac14+\frac12\right)\frac12 =\frac78 \end{align}