¿Es esta una caracterización alternativa de los anillos de$\lambda$? O, ¿qué es como un anillo$\lambda$ - pero para potencias simétricas en lugar de exteriores?

Question

Esta es una pregunta acerca de $\lambda$-anillos. Un $\lambda$-ring es un anillo conmutativo, junto con las operaciones de $\lambda^n$ por cada número entero $n$ que son análogos a los $n$th potencia exterior y cumplir las mismas identidades. Hay la identidad $$\lambda^n(x+y)=\sum_{i+j=n}\lambda^i(x)\lambda^j(y)$$ as well as more complicated identities for $\lambda^n(xy)$ and $\lambda^m(\lambda^n(x))$.

Mi pregunta es: ¿y si en vez de exterior poderes, hemos utilizado simétricos? Como en, podríamos definir un "$s$-ring" para ser un anillo, junto con las operaciones de $s^n$ la satisfacción de las identidades análoga a la de las identidades de la definición de una $\lambda$-anillo, pero para simétrica poderes en lugar de exteriores de poderes. Además tenemos $$s^n(x+y)=\sum_{i+j=n}s^i(x)s^j(y),$$ que es el mismo que antes, pero la multiplicación y la iteración identidades son diferentes; por ejemplo, en lugar de $$\lambda^2(xy) = \lambda^1(x)^2 \lambda^2(y) + \lambda^2(x) \lambda^1(y)^2 - 2 \lambda^2(x)\lambda^2(y)$$ y $$ \lambda^2(\lambda^2(x))=\lambda^1(x)\lambda^3(x)-\lambda^4(x)$$ llegamos $$s^2(xy) = s^1(x)^2 s^1(y)^2 - s^1(x)^2 s^2(y) - s^2(x) s^1(y)^2 + 2 s^2(x)s^2(y)$$ y $$ s^2(s^2(x))=s^2(x)^2 - s^1(x)s^3(x) + s^4(x).$$

(Esos son el derecho análogos, ¿verdad? Acabo de aquellos, en las definiciones de $P_k$$P_{k,j}$, en sustitución de los conjuntos con multisets, primaria y simétrica polinomios con completa homogéneas. Yo en realidad no pensar simétrica poderes, yo sólo se supone que debería funcionar de la misma.)

Mi sospecha, basada en lo que he leído, es que este debe ser sólo una alternativa caracterización de una $\lambda$-anillo, de que debe ser posible expresar el $s^n$ en términos de la $\lambda^n$ y viceversa. Pero yo realmente no conocen de este tema; yo estoy pidiendo esto porque yo tropecé a través de algo que podría ser uno de estos "$s$-de los anillos".

Así que: ¿Es esta una alternativa caracterización de una $\lambda$-ring? (Si es así, podría proporcionar una referencia?) Y si no, es un conocido tipo de cosas, y ¿dónde puedo leer sobre esto?

Answer 1

OK, ahora tengo más de una respuesta, que voy a publicar aquí. Que dijo... cualquier referencia sería realmente apreciado. Todavía estoy buscando referencias sobre el asunto; yo no quiero tener que rederive esta teoría mí mismo.

De todos modos, sí, parece ser una alternativa caracterización de una $\lambda$-ring, a través de la forma habitual de realizar la conversión entre los $e_n$ (primaria simétrica polinomios) y $h_n$ (completar polinomios homogéneos), es decir, la relación $\sum_{i=0}^k (-1)^i e_i h_{k-i}=0$, o, en este contexto, $\sum_{i=0}^k (-1)^i \lambda^i(x) s^{k-i}(x)=0$.

Edit: también puedes hacer el más simple $s^i(x)=(-1)^i \lambda^i(-x)$; esto es equivalente por Vandermonde.

No estoy muy a tener esta demostrado, pero si puedo hacer que el probablemente verdadero supuesto de que la verificación de estas identidades en el anillo de simétrica funciones, o el anillo de simétrica funciones en dos tipos de variables, que yo sólo necesita comprobar los elementos cuyos coeficientes son no negativos, entonces puedo probarlo. Versión corta es, anillo de simétrica funciones es la libre $\lambda$-ring en un generador, anillo de simétrica funciones es la libre $\lambda$-anillo en dos generadores (yo no tengo una referencia para que, pero parece que se sigue en el hecho de que el anillo de simétrica funciones es la libre $\lambda$-anillo en un generador junto con el hecho de que la primaria simétrica polinomios en dos tipos de variables generan como un anillo, el anillo de simétrica funciones en dos tipos de variables), por lo que si funciona no funciona en cualquier lugar. Y, por supuesto, que trabaja allí, porque las identidades se definen (al menos, como dije, para los elementos sin negativo de los coeficientes; estoy teniendo algunos problemas para el manejo de aquellos).

Así que no voy a aceptar esta respuesta, porque no estoy teniendo en cuenta esta cerrada; todavía estoy buscando una referencia para no tener que rederive toda la teoría de mí mismo. Gracias a todos!

Edit: OK, he aquí una referencia que funciona, aunque no explícitamente estado de todo, como tal, pero que esencialmente dice. Llama a las operaciones de $S^i$, así que supongo que es la notación a utilizar. http://lipn.univ-paris13.fr/~duchamp/Books&more/Lascoux/Cbm.pdf , voy a aceptar esta respuesta una vez que el sistema me permite (a menos que alguien tenga uno mejor!); mientras tanto tengo otro, menos trivial, pregunta acerca de $\lambda$-anillos que me voy a pedir en MathOverflow probablemente pronto...