Cómo probar$a^{ka}+b^{kb} \geq a^{kb}+b^{ka}$

Question

Deje $0 \leq a \leq b, 0 \leq k \leq e$ $$ a^{ka}+b^{kb} \geq a^{kb}+b^{ka} $$

Es relativamente fácil demostrar al $b \geq 1$(todos los no-negativo $k$ satisface esta desigualdad), yo no puedo demostrar que el otro caso($b \leq 1$).

(Máximo de $k$ es calculado por ordenador para estar cerca de 2.7, así que conjeturó a $e$ pero puede que esté equivocado)

También, en general, vamos a $0 \leq a \leq b, 0 \leq c \leq d$ $$ a^{c}+b^{d} \geq a^{d}+b^{c} $$ Al $b \geq 1$ cada $c$ $d$ satisface esta desigualdad. Sin embargo, cuando se $b \leq 1$, hay condiciones generales para$c$$d$?

Answer 1

Esto es equivalente a $$b^{kb}-b^{ka}\ge a^{kb}-a^{ka}$$ Dividiendo, tenga en cuenta que el lado derecho es negativo ($\alpha^{x}$ es la disminución de $\alpha \in (0,1)$), por lo que queremos mostrar a $$\frac{b^{kb}-b^{ka}}{a^{kb}-a^{ka}}\le 1$$ Deje $f(x)=b^{kx}$$g(x)=a^{kx}$. Entonces por Cauchy del Valor medio Teorema, hay un $c \in (a,b)$ $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{\log(b)}{\log(a)}\left(\frac{b}{a}\right)^{kc}$$ Queremos probar que esto es, en la mayoría de las $1$, por alguna restricción en $k$. Desde $b \ge a$, $(b/a)^{kc}$ es maximizada en $c=b$. Así que consideren $h(x)=\log(x) x^{kb}$. Al $h$ va en aumento,

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\le \frac{h(b)}{h(a)}\le 1$$

$h$ es el aumento de al $h'(x)>0$. Por computación, $h'(x)=(1-kb)x^{kb-1}$, lo cual es positivo para los positivos $x$ fib $1-kb>0$, es decir,$k<1/b$. Yo creo que estos son los mejores de los límites que usted conseguirá.