Probar que un conjunto de funciones es un subespacio lineal de un espacio vectorial

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $V$ ser el espacio vectorial de todas las funciones continuas $f : R → R$ con el punto de sabios de la adición y la multiplicación escalar definido.

(a) Demostrar que $M_1$ = {$f ∈ V :$ Existe $a, b ∈ R$ $f(x) = a sin(x + b)$ todos los $x ∈ R$} es un subespacio lineal de $V$.

(b) Demostrar que $M_2$ = {$f ∈ V :$ Existe $a ∈ R$ $f(x) = sin(ax)$ todos los $x ∈ R$} no es un subespacio lineal de $V$.

Como tengo entendido, el requisito para ser un subespacio lineal es que el conjunto debe ser algebraicamente cerrado con respecto a la adición y la multiplicación por un escalar, es decir,

(i) Si $f_1,f_2 ∈ V$ $f_1+f_2 ∈ V$

(ii) Si $f ∈ V$ $λf ∈ V$ donde $λ∈R$

Sin embargo, tratando de aplicar la primera condición para probar la parte (a), necesito encontrar una forma de expresar

$(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)=a_1sin(x+b_1)+a_2sin(x+b_2)$

en el formulario

$asin(x+b)$

por lo que puedo demostrar que la suma de las dos funciones pertenece a$M_1$. Además, la segunda condición (multiplicación por un escalar) es válido como $(λf)(x)=λasin(x+b)$ que pertenece a $M_1$. Es sólo la primera condición en la que estoy atascado.

También, para la parte (b), agradecería sugerencias para demostrar la forma en que el conjunto es no lineal subespacio? Lo que sería una forma de demostrar de manera concluyente que las dos condiciones no se cumplen?

Answer 1

Tienes \begin{align} a_1\sin(x+b_1)+a_2\sin(x+b_2)&=a_1\sin x\cos b_1+a_1\cos x\sin b_1+a_2\sin x\cos b_2+a_2\cos x\sin b_2\\ &=(a_1\cos b_1+a_2\cos b_2)\sin x+(a_1\sin b_1+a_2\sin b_2)\cos x. \end {align} Entonces es suficiente para mostrar que$\alpha\sin x+\beta\cos x\in M_1$. Para esto, tenga en cuenta que siempre podemos encontrar$t$ con $$ \ frac \ alpha {\ sqrt {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2}} = \ cos t, \ \ \ \ frac \ beta {\ sqrt {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2}} = \ sin t. $$ Entonces \begin{align} \alpha\sin x+\beta\cos x&=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,(\cos t\sin x+\sin t\cos x)\\ &=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\,\sin(x+t)\in M_1. \end {align} Para$M_2$, como señaló Alex, todos los elementos$\sin (ax)$ tienen valor absoluto$\leq1$, por lo que$5\sin x$ no se puede escribir como$\sin (ax)$.