cohomología y espacios Eilenberg-MacLane

Question

Esta pregunta está relacionada con esta pregunta de Dinakar, que me ha parecido interesante, pero que aún no tengo la formación necesaria para entender a ese nivel.

Si no me equivoco, la afirmación aproximada es que H n (X;G) (la cohomología n-dimensional de X con coeficientes en G) debería corresponder de alguna manera a clases de homotopía (¿libre?) de mapas X --> K(G,n). Quiero entender esto mejor, en términos relativamente elementales. Aquí hay algunas preguntas que (espero) me apunten en la dirección correcta.

1. ¿En qué categoría estamos trabajando? Mi opinión es que X debería ser simplemente un espacio topológico, la cohomología es cohomología singular, y nuestros mapas X --> K(G,n) sólo necesitan ser continuos.
2. ¿Se mantiene esto si damos a X una estructura suave, tomamos la cohomología de Rham, y requerimos que nuestros mapas X --> K(G,n) sean suaves?
3. ¿Cómo funciona la adición en H n (X;G)?
4. ¿Cómo se traslada la estructura del anillo en H*(X;G)? (Probablemente ya se haya respondido adecuadamente a Dinakar).

Answer 1

La probabilidad estudia, bueno, lo probable que son los acontecimientos. Intuitivamente sabes lo que es la probabilidad.

La estadística es el estudio de los datos: mostrarlos (utilizando herramientas como los gráficos), resumirlos (utilizando medias y desviaciones estándar, etc.), llegar a conclusiones sobre el mundo del que se han extraído los datos (ajustando las líneas a los datos, etc.) y, esto es clave, cuantificar la seguridad de nuestras conclusiones.

Para cuantificar el grado de seguridad de nuestras conclusiones tenemos que utilizar la probabilidad. Supongamos que tienes los datos del año pasado sobre las precipitaciones en la región donde vives tú y donde vivo yo. El año pasado llovió una media de 1/4 de pulgada por semana donde tú vives, y 3/8 de pulgada donde yo vivo. Así que podemos decir que las precipitaciones en mi región son de media un 50% mayores que donde tú vives, ¿no? No tan rápido, Sparky. Podría ser una coincidencia: quizá el año pasado llovió mucho donde yo vivo. Podemos utilizar la Probabilidad para estimar el grado de confianza que podemos tener en nuestra conclusión de que mi casa es un 50% más húmeda que la tuya.

Así que básicamente se puede decir que la Probabilidad es el fundamento matemático de la Teoría de la Estadística.

Answer 2

1. Estamos trabajando en el homotopía categoría de espacios topológicos donde los morfismos son clases de homotopía de mapas continuos. Más exactamente, tendemos a trabajar en la categoría basada, donde cada objeto tiene un punto base distinguido y se requiere que todo preserve ese punto base. La categoría no basada puede incrustarse en la categoría basada mediante la simple adición de un punto base disjunto, por lo que a menudo pasamos de un lado a otro de las dos sin preocuparnos demasiado por ello. La propia teoría de la cohomología es algo más interesante. Para los complejos CW, no importa cuál se elija, ya que todos son iguales. Sin embargo, fuera de la subcategoría de complejos CW entonces las diferentes teorías pueden variar (como se mencionó en otra pregunta). Así que lo que hacemos es lo siguiente: utilizando los grandes teoremas construimos un espacio topológico, que llamamos K(G,n), que representa el grupo de cohomología n-ésimo con coeficientes en G para Complejos CW . Así, siempre que X sea un complejo CW, tenemos un isomorfismo natural de los funtores H n (X;G) ≅ [X,K(G,n)], donde el lado derecho son las clases de homotopía de los mapas basados (debería, por derecho, haber una tilde en la H del lado izquierdo pero eso sólo cambia las cosas para n = 0 y no sé cómo escribirlo). Para espacios topológicos arbitrarios, entonces definir cohomología como [X,K(G,n)]. Si esto coincide, por ejemplo, con la cohomología singular, estamos muy contentos, pero no lo exigimos.

2. Depende de lo que se entienda por "estructura suave". Ciertamente, en el sentido más amplio, obtendrás respuestas diferentes si insistes en que todo sea suave. Pero en el caso de las variedades suaves, los mapas continuos son homotópicos a los mapas suaves (y las homotopías continuas a las homotopías suaves), de modo que la categoría de homotopía de las variedades suaves y los mapas suaves es equivalente a la categoría de homotopía de las variedades suaves y los mapas continuos. Sin embargo, hay que tener cuidado con las K(G,n)s, ya que, en general, no serán variedades lisas de dimensión finita. Sin embargo, hay muchas cosas que no son variedades lisas de dimensión finita pero que se comportan bien con respecto a las estructuras lisas, por lo que esto no debería considerarse como el inconveniente que han indicado los demás participantes.

3. Adición en H n (X;G) se traduce en el hecho de que K(G,n) es un espacio H. El isomorfismo de suspensión, H n (X;G) ≅ H n+1 (ΣX,G) (de nuevo, añadir tildes) implica la más fuerte condición de que K(G,n) es el espacio de bucles de K(G,n+1) y, por tanto, la estructura del espacio H proviene del producto de Pontrijagin sobre un espacio de bucles (¡basado!). Pero el teorema básico sobre la representabilidad de la cohomología simplemente proporciona a K(G,n) la estructura de un espacio H.

4. En cuanto a la estructura del anillo, que se traduce en ciertos mapas K(G,n) cuña K(G,m) → K(G,n+m). No conozco una buena forma de "verlos" para la cohomología ordinaria, principalmente porque no conozco ningún buen modelo geométrico para los espacios K(G,n) excepto para grados bajos. Un caso sencillo donde se puede ver es en la cohomología racional. La cohomología racional (hecha 2-periódica) es isomorfa a la teoría K racional y allí el producto corresponde al producto tensorial de haces vectoriales.

   (Hay que decir, a la luz del primer punto, que la teoría K sólo debe pensarse como construida a partir de haces vectoriales para complejos CW compactos. Para todos los demás espacios, la teoría K es clases de homotopía de los mapas a Z × BU).

Answer 3

He aquí una afirmación precisa: la cohomología singular reducida H^n(X;G) es naturalmente isomorfa a las clases de homotopía de los mapas puntuales de X a K(G,n), para cualquier espacio topológico puntal X que tenga el tipo de homotopía de un complejo CW. Explícitamente, el mapa de identidad G= \pi_n (K(G,n))=H_n(K(G,n);Z) \to G da un elemento i_n de H^n(K(G,n);G), y el isomorfismo viene dado por tomar un mapa f:X \to K(G,n) a la clase f*(i_n) \in H^n(X;G).

Según Yoneda, la estructura aditiva y multiplicativa en H^*(X;G) proviene de ciertas clases (de homotopía) de mapas K(G,n) \times K(G,n) \to K(G,n) y K(G,n) \times K(G,m) \to K(G,m+n), respectivamente. El mapa de adición es en realidad bastante fácil de ver: K(G,n) es el espacio de bucles de K(G,n+1), por lo que tiene una operación binaria natural K(G,n) \times K(G,n) \to K(G,n) dada por la concatenación de bucles. Como K(G,n) es en realidad el doble espacio de bucles de K(G,n+2), el argumento de Eckmann-Hilton (el mismo que muestra que los grupos de homotopía superior son abelianos) muestra que esta operación es conmutativa hasta la homotopía. No conozco una buena forma de ver el mapa de multiplicación.

En cuanto a su segunda pregunta, la respuesta debería ser sí siempre que tenga sentido. Para cualquier buena noción de estructura suave, debería ser cierto que los mapas suaves hasta la homotopía suave son lo mismo que los mapas continuos hasta la homotopía continua (al menos, es cierto para las variedades suaves). Sin embargo, hasta donde yo sé, rara vez hay una estructura suave natural para poner en K(G,n), así que esto no tiene sentido (¡aunque puedo estar equivocado!). En particular, para hacer cohomología de Rham es de suponer que G sea R o C, y entonces K(G,n) es realmente monstruoso geométricamente. Quizá quieras echar un vistazo a esta pregunta .