Encuentre un conjunto donde la eliminación de sus puntos aislados cree más puntos aislados, y luego la eliminación de esos puntos aislados crea más puntos aislados y así sucesivamente

Question

Para un conjunto$E_1 \subset \mathbb R$, denota el conjunto de todos sus puntos aislados por$E_1^*$. Dejar $E_2 = E_1\setminus E_1^*$. De manera similar,$E_3 = E_2\setminus E_2^*$, y así sucesivamente. Dé un ejemplo de tal conjunto$E_1$ que cumpla con las dos condiciones para$n=1,2,3,\dots$:

1. Ninguno de los conjuntos$E_n$ está vacío

2. Ninguno de los conjuntos$E_n^*$ está vacío

Answer 1

Puedo obtener conjuntos de $E_{n},E_{n}^{*}$ $1\leq n\leq k.$ Deje $X_{1}=\{0\}\cup\{1/n\}_{n\geq 2}.$ Ahora vamos a $X_{2}=\{0\}\cup\bigcup_{n\geq2}\{1/n\}\cup\{1/n+(1/(n-1)-1/n)/j\}_{j\geq 2},$ y continuar en este camino de $k$ pasos, es decir, entre dos puntos consecutivos que fueron agregados en $X_{n-1},$ $x<y,$ agregar la secuencia de puntos de $\{x+(y-x)/j\}_{j\geq 2}.$ Deje $E_{1}=X_{k-1}.$, a Continuación, en el primer paso, los puntos aislados son sólo aquellos que fueron añadidos en el último paso, desde cada punto de $x$ que se agregó en el $X_{n},n<k-1$ tiene una secuencia de puntos en $E_{1}$ tendiendo a $x$ (añadido en el paso $n+1$). Por lo $E_{2}=X_{k-2},$ y esto continúa hasta que $E_{k-1}=X_{1}.$ Podemos repetir una vez más para obtener $E_{k}=\{0\},$ pero repetir más claramente los rendimientos es el conjunto vacío.

Desafortunadamente, este no es el ejemplo que quieras, ya que es posible que sólo se repite un número finito de veces. $X_{\infty}=\bigcup_{n\geq 1}X_{n}$ no tiene puntos aislados, ya que dado cualquier candidato $x\in X_{\infty},$ $x$ debe pertenecer a $X_{n}$ algunos $n\geq 1,$ pero eso significa que hay una secuencia de puntos en $X_{n+1}$ con límite de $x$, y esta secuencia también pertenece claramente a $X_{\infty}.$

Sin embargo, con la idea de martin.koeberl en el comentario de abajo, podemos considerar que en lugar de los conjuntos de $X_{n}^{*}=2n+X_{n},$ y deje $E_{1}=\bigcup_{n\geq 1}X_{n}^{*}.$ Ahora hemos demostrado que la $X_{k-1}^{*}$ todavía estará vacía después de $k$ pasos en este procedimiento, para todos los $k\geq 1,$, lo que muestra que $E_{k},E_{k}^{*}$ va a ser no vacío para todos los $k\geq 1.$ Esto le da a la deseada ejemplo.

La siguiente imagen describe el método para la generación de la $X_{n}.$ El verde de los puntos en la primera línea son los puntos en $X_{1}=\{0\}\cup\{1/n\}_{n\geq 2}.$ En la línea siguiente, los puntos que estaban en $X_{1}$ están en rojo, y el añadido de los puntos están en verde; el conjunto de puntos rojos y verdes conforma $X_{2}=X_{1}\cup\bigcup_{n\geq 2}\{1/n+(1/n(n-1))/k\}_{k\geq 2}$ (tenga en cuenta que $1/(n-1)-1/n=1/(n(n-1))$). Esto se repite para generar $$X_{3}=X_{2}\cup\bigcup_{n\geq 2,k\geq 2}\{1/n+(1/n(n-1))/k+(1/n(n-1)k(k-1))/j\}_{j\geq 2},$$ y el proceso continúa de esta manera.