¿Cuál es el número esperado de turnos para jugar este juego infantil?

Question

Estoy jugando a este juego con niños. Estoy listo para apuñalar mis ojos con un picahielo. Parece que nunca termina, pero sé que espero que termine. ¿Cuál es mi número esperado de giros para eliminar todas las frutas del árbol?

Objetivo: eliminar 14 cerezas del árbol ejecutando una de las siguientes siete direcciones al azar por turno.

  1. Remove 1 cherry.
 2. Remove 2 cherries.
 3. Remove 3 cherries.
 4. Remove 4 cherries.
 5. Return 1 cherry to tree.
 6. Return 2 cherries to tree.
 7. Return all your cherries to tree.
 

Una vez que me di cuenta de que tenía una oportunidad de 1/7 cada vez que jugaba este juego a perpetuidad, comencé a buscar el cajón de la cocina.

Answer 1

De hecho, me pasó algo de tiempo hace aproximadamente un año haciendo algunos cálculos para una variante de este juego, que se vende como Hi-Ho Cherry-O. Es idéntico a su juego, excepto con 10 cerezas en lugar de 14. (Me enteré de un colega con un niño de 4 años de edad, hija.)

La computación es un buen ejemplo de una simple cadena de Markov técnicas, que producen ecuaciones lineales del tipo de Brett Frankel la respuesta. He considerado los casos de 1 a 4 jugadores, que son susceptibles de solución de la computadora.

Otra característica interesante es que desde que los jugadores toman turnos, el primer jugador tiene una ligera ventaja.

Aquí están los resultados que obtuve durante 10 cerezas. Si usted está realmente interesado, puedo intentar reconstruir mi código y ejecutar el 14 de cereza caso.

1 juego de un jugador:

Duración prevista: 15.8019792994073 rondas

2 juego de un jugador:

Espera que el número de rondas: 9.58554137805221
P(jugador 1 gana) = 0.518720469382215
P(jugador 2 gana) = 0.481279530617784
Espera que el número de vueltas = 18.6523622867222

Juego de 3 jugadores:

Espera que el número de rondas: 7.49668096168849
P(jugador 1 gana) = 0.357756582790784
P(jugador 2 gana) = 0.332728455615310
P(jugador 3 victorias) = 0.309514961593905
Espera que el número de vueltas: 21.4418012638686

4 juego de un jugador:

Espera que el número de rondas: 6.44149249272987
P(jugador 1 gana) = 0.276928283784381
P(jugador 2 gana) = 0.258099951775544
P(jugador 3 victorias) = 0.240610168544412
P(4 victorias) = 0.224361595895655
Espera que el número de vueltas: 24.1783750474708

Edit: también debo mencionar a algunos trabajos anteriores por Jeffrey Humpherys.

Answer 2

Puede resolverlo mediante una serie de 14 ecuaciones lineales: Deje que$E_n$ sea el número esperado de turnos restantes hasta que el juego termine cuando actualmente hay$n$ cerezas en el árbol. Por ejemplo,$$E_1=\frac{4}{7}1+\frac{1}{7}(1+E_2)+\frac{1}{7}(1+E_3)+\frac{1}{7}(1+E_{14})$ $

PS

Para cuando termine de escribir las 14 ecuaciones y resuelva, el juego puede haber terminado. (De nuevo, espero que la respuesta sea bastante grande).

Answer 3

He encontrado la razón de la discrepancia entre Nate la respuesta y los resultados de mi (que de acuerdo con el DSM). En la versión del juego que Nate vinculado, el perro y el pájaro ambos requieren que usted regrese $2$ cerezas en el árbol, mientras que en la actual versión 5. dice una cereza, y sólo el 6. dice dos cerezas. Si puedo cambiar mi código para la versión enlazada mi resultado para el número esperado de vueltas está de acuerdo con Nate. Para la presente versión, me sale

$$\frac{1179248}{80915}\approx14.5739\;.$$