Co-productos en $\mathsf{Grp}$

Question

Los límites y colimits en la categoría de abelian grupos son tan buenas como puede ser, ya que los productos y ecualizadores son los mismos que en la categoría de conjuntos.

En la categoría de grupos, sin embargo, el subproducto es un desagradable menos manejable criatura. Uno puede mostrar que eso es sólo la forma en que las cosas son, pero ¿por qué es esto realmente? ¿Por qué la falta de conmutativa "echar a perder" cosas, y qué es exactamente lo que hace que se estropee?

Answer 1

Al menos en contextos algebraicos, me gusta pensar en el subproducto de $(A,\cdot)$ $(B,*)$ como ser la estructura que $A\cup B$ genera* (aplicando el original de la multiplicación entre pares de elementos adyacentes de $A$ o de $B$). Es decir, cada elemento de la subproducto debe tener permisos de escritura como un producto de $A$'s y $B$'s (suponiendo que la asociatividad): $$a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n.$$ Este es, por supuesto, básicamente lo que es un producto libre se ve como en la categoría de grupos - y no podemos continuar porque el grupo de las leyes por sí solas no nos permiten moverse elementos, más allá de la eliminación de la identidad de los elementos del producto.

Cuando estamos en la categoría de abelian grupos, sin embargo, es obvio que tenemos que $$a_1b_1a_2b_2\ldots a_nb_n=a_1a_2\ldots a_n b_1b_2\ldots b_n$$ lo que significa que cada elemento puede ser escrito como un producto de un elemento de $A$ y un elemento de $B$ - que es básicamente lo que ocurre en un producto directo - es decir, aquellos dos estructuras coinciden. Así, podemos considerar que abelian grupos especiales en que su estructura adicional nos permite simplificar la generalmente de forma compleja de la subproducto.

(*Por supuesto, $(A,\cdot)$ no es en realidad la firma de un grupo - pero aún así es un trabajo de ilustración)

Answer 2

Como usted señala, si los conjuntos de $A$ $B$ son abelian grupos, entonces el producto y subproducto son los mismos. Esto significa que el objeto $A\times B\in AGrp$$\textit coproduct$. y tenemos la canónica de inserciones $$i_{1}:A\to A\times B;a\mapsto (a,1)$$ and $$i_{2}:B\to A\times B;b\mapsto (1,b)$$ que satisfacen la UMP del subproducto.

Vamos a mostrar por contraejemplo que el mismo tipo de construcción no funciona en $Grp$:

Tome $A=\left \{ 1,a \right \};a^{2}=1$ $B=\left \{ 1,b \right \};b^{2}=1$ i.e: $A$ $B$ son copias de los dos-grupo de elementos. Si $A\times B$ es un subproducto, y $i_{1}$ $i_{2}$ son como arriba, a continuación, defina $C$ a ser el libre grupo en dos generadores. es decir, $C$ tiene elementos de la forma aaabbaabbbbbb, identidad $e=$ la palabra vacía y la multiplicación es cancatenation. Tenga en cuenta que $C$ no es abelian. es decir,$ab\neq ba$.

Ahora, vamos a $f:A\to C$ ser dado por $a\mapsto a$ i.e la palabra $a$ de la longitud de la $1$ $C$ y

$g:B\to C$ ser dado por $b\mapsto b$.

Si $A\times B$ es satify la UMP del subproducto, debemos ser capaces de encontrar un grupo de homomorphism $h:A\times B\to C$ tal que $$h\circ i_{1}=f$$ and $$h\circ i_{2}=g$$

Pero podemos observar que en $A\times B$, debemos tener $(a,1)(1,b)=(a,b)=(1,b)(a,1)$, de modo que si ese $h$ existía, se requeriría

$ab=f(a)g(b)=((h\circ i_{1})(a))((h\circ i_{2})(b))=h(a,1)h(1,b)=h(a,b)=h(1,b)h(a,1)=((h\circ i_{2})(b))((h\circ i_{1})(a))=g(b)f(a)=ba$.

Lo anterior implica que si el $h$ existe,$ab=ba$. Pero $C$ no es abelian, así que no hay tal $h$ existe $\Rightarrow A\times B$ no es un subproducto.