Centros de la osculating círculos a lo largo de una elipse

Question

Considere la posibilidad de una elipse en el plano de la $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Vamos a utilizar el habitual parametrización: $P(t)=(x(t),y(t))=(a\cos t,b\sin t)$.

Entonces el vector tangente es $T(t)=(-a\sin t, b\cos t)$, y el (hacia adentro) vector normal es $N(t)=(-b\cos t,-a\sin t)$.

También sabemos que el radio de curvatura en $P(t)$$\displaystyle r(t)=\frac{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{3/2}}{ab}$. Por lo que el centro de la osculating círculo en $P(t)$, o centro de curvatura, está dada por $$C(t)=P(t)+r(t)\frac{N(t)}{|N(t)|}=(a\cos t,b\sin t)-\frac{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}{ab}(b\cos t,a\sin t).$$

Mi pregunta es, ¿ estos centros también traza una elipse? Si no, podríamos describir las coordenadas por algunos cuadrática/ecuación algebraica?

Gracias!

Answer 1

En general, los Evolucionó de una curva es el lugar geométrico de todos sus centros de curvatura.

Así que la pregunta es: ¿cómo evolucionó de una elipse se parece?

La respuesta es que no es una elipse. Las coordenadas $x,y$ $C(t)$ satisfacer una ecuación polinómica de total grado $6$:

$$ {a}^{6}{x}^{6}+3\,{a}^{4}{b}^{2}{x}^{4}{y}^{2}+3\,{a}^{2}{b}^{4}{x}^{2 } de{y}^{4}+{b}^{6}{y}^{6}\\+ \left( -3\,{a}^{8}+6\,{a}^{6}{b}^{2}-3\,{a}^{ 4}{b}^{4} \right) {x}^{4}+ \left( 21\,{a}^{6}{b}^{2}-42\,{a}^{4}{b}^{4 }+21\,{a}^{2}{b}^{6} \right) {x}^{2}{y}^{2}+ \left( -3\,{a}^{4}{b}^{4} +6\,{a}^{2}{b}^{6}-3\,{b}^{8} \right) {y}^{4}\\+ \left( 3\,{a}^{10}-12\, {a}^{8}{b}^{2}+18\,{a}^{6}{b}^{4}-12\,{a}^{4}{b}^{6}+3\,{a}^{2}{b}^{8} \right) {x}^{2}+ \left( 3\,{a}^{8}{b}^{2}-12\,{a}^{6}{b}^{4}+18\,{a}^ {4}{b}^{6}-12\,{a}^{2}{b}^{8}+3\,{b}^{10} \right) {y}^{2}\\-{a}^{12}+6\, {a}^{10}{b}^{2}-15\,{a}^{8}{b}^{4}+20\,{a}^{6}{b}^{6}-15\,{a}^{4}{b}^{ 8}+6\,{a}^{2}{b}^{10}-{b}^{12} = 0 $$

Aquí están los puntos suspensivos (azul) y $C(t)$ (rojo) en el caso de $a=2,b=1$.

EDIT: he Aquí una animación que muestra la osculating círculo en movimiento.