Varianza de la suma de variables aleatorias complejas e independientes

Question

$\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}$Considere las variables aleatorias complejas independientes de media cero $X_1,\dots,X_n$ y las constantes complejas $a_1,\dots,a_n$. ¿Se aplica la fórmula para variables aleatorias independientes de valores reales al caso complejo como: $$\Var[a_1X_1+\dots +a_nX_n] = | a_1 | ^2\Var(X_1)+\dots+ | a_n |^2\Var(X_n)$$

Answer 1

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}}$ La varianza suele definirse como $$ \var(X) = \operatorname E\left((X-\mu)\overline{(X-\mu)}\,\right) $$ donde $\overline{c}$ es el conjugado complejo de $c$.

Se deduce que $$ \var(aX) = a\overline{a}\var(X) = |a|^2\var(X). $$ Con números reales $|a|^2$ es lo mismo que $a^2$; con números complejos no son iguales excepto cuando el número complejo involucrado es real.

La afirmación sobre las sumas es verdadera y la prueba es la misma que con números reales.