La convergencia de una sola variable de potencia de la serie

Question

Me gustaría saber si la siguiente potencia de la serie converge o diverge.

$$1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots.$$

Mi intutition me dice que para cualquier valor distinto de cero $x$, la serie diverge, pero no estoy seguro de cómo comprobar que

¿Cómo debo comprobar?

Answer 1

La serie no converge para todos los $x\in\mathbb{R}$, y es la serie de la expresión de $e^{-x}$. Primero que nada, aviso que $\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n}=\infty$ (una prueba de este hecho se puede encontrar aquí). De modo que el radio de convergencia de la anterior serie es \begin{eqnarray} R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}(1/n!)^{1/n}}=\lim_{n\to\infty} (n!)^{1/n}=\infty. \end{eqnarray} Por lo tanto, la serie converge para todos los $x\in\mathbb{R}$. Ahora comparar la serie con el talyor de la serie de la expresión de $e^{-x}$.

Answer 2

La forma cerrada es $$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x)^n}{n!}$$ Let $a_n:=\dfrac{(-x)^n}{n!}$. Then you have that $$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{|x|^n}=\dfrac{|x|}{n+1}\to 0$$ as $n \to \infty$. Thus the series converges by the ratio test for every $x \in \mathbb R$.

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De hecho, para todos los $x\in\mathbb R$ la serie converge a $$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x)^n}{n!}=e^{-x}$$

Answer 3

Si $n+1\gt x$ $\frac {x^n}{n!}\gt \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$

Ignorando el número finito de términos iniciales, y con un poco más de trabajo, puede utilizar la alternancia de la serie de pruebas para demostrar que converge (tienes que muestran la magnitud de los términos va a cero).