Jóvenes de proyectores en Fulton y Harris

Question

En la Sección 4 de Fulton y Harris libro Teoría de la Representación, que dan a la definición de un Joven tableau de la forma $\lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ y, a continuación, definir los dos subgrupos de $S_d$, el grupo simétrico de a $d$ letras: $$ P = P_\lambda = \{g\en S_d : g\ \text{conserva cada fila}\} $$ y $$ Q = Q_\lambda = \{g\en S_d : g\ \text{conserva cada columna}\}. $$ En el grupo de álgebra $\Bbb CS_d$, se definen dos elementos correspondientes a estos subgrupos: $$ a_\lambda = \sum_{g\en P}e_g \quad\text{y}\quad b_\lambda = \sum_{g\Q}\operatorname{sgn}(g)\cdot e_g. $$ Dicen

A ver lo $a_\lambda$$b_\lambda$, se observa que la si $V$ es cualquier espacio vectorial y $S_d$ actúa en el $d$th tensor de potencia $V^{\otimes d}$ por permuting factores, la imagen del elemento $a_\lambda\in\Bbb CS_d\to \operatorname{End}(V^{\otimes d})$ es sólo el subespacio $$ \operatorname{Im}(a_\lambda) = \operatorname{Símbolo}^{\lambda_1}V\otimes\dotsb\otimes\operatorname{Símbolo}^{\lambda_k}V\subconjunto de V^{\otimes d}, $$ donde la inclusión de la derecha se obtiene mediante la agrupación de los factores de $V^{\otimes d}$, de acuerdo a las filas de los Jóvenes de cuadros. Del mismo modo, la imagen de $b_\lambda$ en este tensor de energía es $$ \operatorname{Im}(b_\lambda) = \wedge{}^{\mu_1}V\otimes\dotsb\otimes\wedge{}^{\mu_l}V\subconjunto de V^{\otimes d}, $$ donde $\mu = \left(\mu_1, \ldots, \mu_l\right)$ es el conjugado de la partición de a $\lambda$.

Estoy muy confundido.

1. ¿Cuál es el significado de la notación $a_\lambda\in \Bbb CS_d\to\operatorname{End}(V^{\otimes d})$? Yo estaba trabajando bajo la suposición de que se trataba de un error tipográfico o descuidado notación. A mi entender, $a_\lambda$ puede ser considerado como un endomorfismo de la $d$th tensor de energía de forma natural permuting las coordenadas de los tensores se ve, pero esto parece que está diciendo que $a_\lambda$ es un mapa de $\Bbb CS_d\to\operatorname{End}(V^{\otimes d})$, que no es la misma cosa, como lo que puedo decir.

2. ¿Cómo vemos que $$ \operatorname{Im}(a_\lambda) = \operatorname{Símbolo}^{\lambda_1}V\otimes\dotsb\otimes\operatorname{Símbolo}^{\lambda_k}V\subconjunto de V^{\otimes d}? $$ He trabajado en una muy simple caso con $\lambda = (2,2)$ y la numeración de los Jóvenes diagrama 1 a 4, pero esto no arrojar ningún conocimiento sobre el problema. Supongo que soy probablemente confundido acerca de qué es esto incluso a decir; a mi conocimiento de esta declaración es decir que nada en la imagen de $a_\lambda$ tiene la propiedad de que si me golpeó con una permutación $\sigma\in S_{\lambda_i+1,\dots,\lambda_{i+1}}$ (es decir, una permutación que sólo permutes componentes $\lambda_i+1$ a través de $\lambda_{i+1}$ $d$th tensor de energía), entonces es invariable. Una prueba de ello (o cualquiera que sea la interpretación correcta es) sería muy apreciada.

3. La misma pregunta 2., excepto para $$ \operatorname{Im}(b_\lambda) = \wedge{}^{\mu_1}V\otimes\dotsb\otimes\wedge{}^{\mu_l}V\subconjunto de V^{\otimes d}. $$

Answer 1

No olvides decir lo que quieres decir por "cada fila" y "de cada columna". Supongo se hace referencia a algunos fijos tableau de la forma $\lambda$ aquí.

Voy a usar la notación $\lambda_{\leq j}$ para el entero $\lambda _{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{j}$, where $j$ is any element of $\left\{ 0,1,\ldots,k\right\} $. Note that $\lambda_{\leq0}=0$ and $\lambda_{\leq k}=$n.

1. Sí, su comprensión es a la derecha. Cuando Fulton/Harris decir "el elemento $a_{\lambda}\in\mathbb{C}S_{d}\rightarrow\operatorname*{End}\left( V^{\otimes d}\right) $", they mean "the image of the element $a_{\lambda}\en \mathbb{C}S_{d}$ under the canonical homomorphism $\mathbb{C}S_{d} \rightarrow\operatorname*{End}\left( V^{\otimes d}\right) $". Esta imagen es un endomorfismo de $V^{\otimes d}$, y por lo mismo tiene una imagen (por supuesto, este es un significado diferente a "imagen"); el segundo, la imagen es lo que ellos llaman $\operatorname*{Im}\left( a_{\lambda}\right) $. Este es un abuso de notación lo que no es malo ya que es el único razonable significado de $\operatorname*{Im}\left( a_{\lambda}\right) $ alrededor (pero tenga cuidado -- una vez que usted tiene más de una representación de $S_{d}$ alrededor, estás jodido).

2. Aquí es lo que significan: Para cualquier $m\in\mathbb{N}$, hay un canónica la incrustación de \begin{align*} \iota_{\operatorname*{Sym},m}:\operatorname*{Sym}\nolimits^{m}V & \rightarrow V^{\otimes m},\\ v_{1}v_{2}\cdots v_{m} & \mapsto\sum_{\sigma\in S_{m}}v_{\sigma\left( 1\right) }\otimes v_{\sigma\left( 2\right) }\otimes\cdots\otimes v_{\sigma\left( m\right) } \end{align*} (donde "$v_{1}v_{2}\cdots v_{m}$" en el lado izquierdo significa que el proyección del tensor de $v_{1}\otimes v_{2}\otimes\cdots\otimes v_{m}\en V^{\otimes m}$ onto $\operatorname*{Símbolo}\nolimits^{m}V$). Por lo tanto, usted tiene canónica incrustaciones $\iota_{\operatorname*{Símbolo},\lambda_{i}} :\operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{i}}V\rightarrow V^{\otimes\lambda_{i} }$ for all $i\en\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} $. El producto tensor de estos $k$ incrustaciones es una incrustación \begin{align*} \iota_{\operatorname*{Sym},\lambda_{1}}\otimes\iota_{\operatorname*{Sym} ,\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes\iota_{\operatorname*{Sym},\lambda_{k}} & :\operatorname*{Sym}\nolimits^{\lambda_{1}}V\otimes\operatorname*{Sym} \nolimits^{\lambda_{2}}V\otimes\cdots\otimes\operatorname*{Sym} \nolimits^{\lambda_{k}}V\\ & \rightarrow V^{\otimes\lambda_{1}}\otimes V^{\otimes\lambda_{2}} \otimes\cdots\otimes V^{\otimes\lambda_{k}}. \end{align*} Si nos identificamos $V^{\otimes\lambda_{1}}\otimes V^{\otimes\lambda_{2}} \otimes\cdots\otimes V^{\otimes\lambda_{k}}$ with $V^{\otimes n}$ en el forma estándar (es decir, la identificación de cada tensor \begin{align*} & \left( a_{1}\otimes a_{2}\otimes\cdots\otimes a_{\lambda_{1}}\right) \otimes\left( b_{1}\otimes b_{2}\otimes\cdots\otimes b_{\lambda_{2}}\right) \otimes\cdots\otimes\left( g_{1}\otimes g_{2}\otimes\cdots\otimes g_{\lambda_{k} }\right) \\ & \in V^{\otimes\lambda_{1}}\otimes V^{\otimes\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes V^{\otimes\lambda_{k}} \end{align*} (donde las letras "$a$" y "$b$" aquí no tienen nada que ver con $a_{\lambda}$ y $b_{\lambda}$) con \begin{align*} & a_{1}\otimes a_{2}\otimes\cdots\otimes a_{\lambda_{1}}\otimes b_{1}\otimes b_{2}\otimes\cdots\otimes b_{\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes\cdots\otimes g_{\lambda_{k}}\\ & \in V^{\otimes n} \end{align*} ), entonces esto se convierte en una incrustación \begin{equation} \operatorname*{Sym}\nolimits^{\lambda_{1}}V\otimes\operatorname*{Sym} \nolimits^{\lambda_{2}}V\otimes\cdots\otimes\operatorname*{Sym} \nolimits^{\lambda_{k}}V\rightarrow V^{\otimes n}. \end{equation} Fulton/Harris respecto a este integrarse como una inclusión (otro abuso de la notación), es decir, que la usan para pretender que $\operatorname*{Símbolo} \nolimits^{\lambda_{1}}V\otimes\operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{2} }V\otimes\cdots\otimes\operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{k}}V$ es un $\mathbb{C}$-subespacio vectorial de $V^{\otimes n}$. Ahora dicen que la imagen $\operatorname{Im}\left( a_{\lambda}\right) $ es precisamente este subespacio. Esto produce, en particular, su afirmación de que nada en esta imagen sin cambios cuando lo golpeó con una permutación $\sigma\S_{\left\{ \lambda_{\leq i}+1,\ldots,\lambda_{\leq i+1}\right\} }$, pero es una declaración más fuerte.

   Por qué es esto cierto? Bueno, no es cierto en general. Usted necesidad de asumir que la tableau se utilizan para definir $a_{\lambda}$ es el que tiene la primera fila tiene entradas de $1,2,\ldots,\lambda_{1}$ (en este orden), cuya segunda fila tiene entradas $\lambda_{1}+1,\lambda_{1}+2,\ldots,\lambda_{1}+\lambda_{2}$ (en este orden), y así sucesivamente (es decir, si la lees fila por fila de arriba a abajo, entonces usted consigue la secuencia de $\left( 1,2,\ldots,n\right) $). Entonces, es fácil ver que las permutaciones $g\in P_{\lambda}$ son exactamente las permutaciones en $S_{n}$ que puede ser escrita en la forma $\sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{k}$, donde cada una de las $\sigma_{i}$ pertenece a $S_{\left\{ \lambda_{\leq i-1}+1,\lambda_{\leq i-1}+2,\ldots,\lambda_{\leq i}\right\} }$. Por otra parte, pueden ser escritas en esta forma única; por lo tanto, $P_{\lambda}$ es la siguiente interna directa producto de subgrupos de $S_{n}$: \begin{equation} P_{\lambda}=\prod_{i=1}^{k}S_{\left\{ \lambda_{\leq i-1}+1,\lambda_{\leq i-1}+2,\ldots,\lambda_{\leq i}\right\} }. \end{equation} Por lo tanto, todos los $v_{1}\otimes v_{2}\otimes\cdots\otimes v_{n}\in V^{\otimes n}$ satisface \begin{align*} & \sum_{g\in P_{\lambda}}g\left( v_{1}\otimes v_{2}\otimes\cdots\otimes v_{n}\right) \\ & =\sum_{\substack{\left( \sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{k}\right) ;\\\text{each }\sigma_{i}\text{ belongs to }S_{\left\{ \lambda_{\leq i-1}+1,\lambda_{\leq i-1}+2,\ldots,\lambda_{\leq i}\right\} }} }\underbrace{\left( \sigma_{1}\sigma_{2}\cdots\sigma_{k}\right) \left( v_{1}\otimes v_{2}\otimes\cdots\otimes v_{n}\right) }_{\substack{=\bigotimes _{i=1}^{k}\sigma_{i}\left( v_{\lambda_{\leq i-1}+1}\otimes v_{\lambda_{\leq i-1}+2}\otimes\cdots\otimes v_{\lambda_{\leq i}}\right) \\\text{(where the notation }\bigotimes_{i=1}^{k}w_{i}\text{ is shorthand for }w_{1}\otimes w_{2}\otimes\cdots\otimes w_{k}\text{,}\\\text{whenever }w_{1}\in V^{\otimes\lambda_{1}},w_{2}\in V^{\otimes\lambda_{2}},\ldots,w_{k}\in V^{\otimes\lambda_{k}}\text{)}}}\\ & =\sum_{\substack{\left( \sigma_{1},\sigma_{2},\ldots,\sigma_{k}\right) ;\\\text{each }\sigma_{i}\text{ belongs to }S_{\left\{ \lambda_{\leq i-1}+1,\lambda_{\leq i-1}+2,\ldots,\lambda_{\leq i}\right\} }}}\bigotimes _{i=1}^{k}\sigma_{i}\left( v_{\lambda_{\leq i-1}+1}\otimes v_{\lambda_{\leq i-1}+2}\otimes\cdots\otimes v_{\lambda_{\leq i}}\right) \\ & =\bigotimes_{i=1}^{k}\underbrace{\sum_{\sigma_{i}\in S_{\left\{ \lambda_{\leq i-1}+1,\lambda_{\leq i-1}+2,\ldots,\lambda_{\leq i}\right\} } }\sigma_{i}\left( v_{\lambda_{\leq i-1}+1}\otimes v_{\lambda_{\leq i-1} +2}\otimes\cdots\otimes v_{\lambda_{\leq i}}\right) }_{=\iota _{\operatorname*{Sym},\lambda_{i}}\left( v_{\lambda_{\leq i-1}+1}\otimes v_{\lambda_{\leq i-1}+2}\otimes\cdots\otimes v_{\lambda_{\leq i}}\right) }\\ & =\bigotimes_{i=1}^{k}\iota_{\operatorname*{Sym},\lambda_{i}}\left( v_{\lambda_{\leq i-1}+1}\otimes v_{\lambda_{\leq i-1}+2}\otimes\cdots\otimes v_{\lambda_{\leq i}}\right) \\ & =\left( \iota_{\operatorname*{Sym},\lambda_{1}}\otimes\iota _{\operatorname*{Sym},\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes\iota _{\operatorname*{Sym},\lambda_{k}}\right) \left( v_{1}\otimes v_{2} \otimes\cdots\otimes v_{n}\right) . \end{align*} Desde $\sum_{g\in P_{\lambda}}g=a_{\lambda}$, esto se reescribe como \begin{equation} a_{\lambda}\left( v_{1}\otimes v_{2}\otimes\cdots\otimes v_{n}\right) =\left( \iota_{\operatorname*{Sym},\lambda_{1}}\otimes\iota _{\operatorname*{Sym},\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes\iota _{\operatorname*{Sym},\lambda_{k}}\right) \left( v_{1}\otimes v_{2} \otimes\cdots\otimes v_{n}\right) . \end{equation} Por lo tanto, la imagen de $\operatorname*{Im}\left( a_{\lambda}\right) $ es la imagen del mapa de $\iota_{\operatorname*{Símbolo},\lambda_{1}}\otimes\iota _{\operatorname*{Símbolo},\lambda_{2}}\otimes\cdots\otimes\iota _{\operatorname*{Símbolo},\lambda_{k}}$. Ya hemos acordado para identificar el última imagen con $\operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{1}}V\otimes \operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{2}}V\otimes\cdots\otimes \operatorname*{Símbolo}\nolimits^{\lambda_{k}}V$, por lo tanto la conclusión de que \begin{equation} \operatorname{Im}\left( a_{\lambda}\right) =\operatorname*{Sym} \nolimits^{\lambda_{1}}V\otimes\operatorname*{Sym}\nolimits^{\lambda_{2} }V\otimes\cdots\otimes\operatorname*{Sym}\nolimits^{\lambda_{k}}V. \end{equation}

3. Esto es similar a la parte 2. En lugar de las incrustaciones $\iota _{\operatorname*{Símbolo},m}$, ahora necesitan el incrustaciones \begin{align*} \iota_{\Lambda,m}:\Lambda^{m}V & \rightarrow V^{\otimes m},\\ v_{1}\wedge v_{2}\wedge\cdots\wedge v_{m} & \mapsto\sum_{\sigma\in S_{m} }\left( -1\right) ^{\sigma}v_{\sigma\left( 1\right) }\otimes v_{\sigma\left( 2\right) }\otimes\cdots\otimes v_{\sigma\left( m\right) } \end{align*} (donde $\left( -1\right) ^{\sigma}$ es el signo de $\sigma$). Estos le dan canónica incrustaciones $\iota_{\Lambda\mu_{i}}:\Lambda^{\mu_{i}}V\rightarrow V^{\otimes\mu_{i}}$ for all $i\en\left\{ 1,2,\ldots,l\right\} $. El tensor de la producto de estos $l$ incrustaciones es una incrustación \begin{align*} \iota_{\Lambda,\mu_{1}}\otimes\iota_{\Lambda,\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes \iota_{\Lambda,\mu_{l}} & :\Lambda^{\mu_{1}}V\otimes\Lambda^{\mu_{2}} V\otimes\cdots\otimes\Lambda^{\mu_{l}}V\\ & \rightarrow V^{\otimes\mu_{1}}\otimes V^{\otimes\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes V^{\otimes\mu_{l}}. \end{align*} La identificación de los $V^{\otimes\mu_{1}}\otimes V^{\otimes\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes V^{\otimes\mu_{l}}$ with $V^{\otimes n}$ en el modo estándar, esto se convierte en un la incrustación de \begin{equation} \Lambda^{\mu_{1}}V\otimes\Lambda^{\mu_{2}}V\otimes\cdots\otimes\Lambda ^{\mu_{l}}V\rightarrow V^{\otimes n}. \end{equation} Fulton/Harris afirmación de que la imagen $\operatorname{Im}\left( b_{\lambda }\right) $ es precisamente la imagen de esta incrustación.

   De nuevo, esto no es cierto en general. Este momento, es necesario asumir que la tableau se utilizan para definir $b_{\lambda}$ es el que tiene la primera la columna tiene entradas $1,2,\ldots,\mu_{1}$ (en este orden), cuyo segundo la columna tiene entradas $\mu_{1}+1,\mu_{1}+2,\ldots,\mu_{1}+\mu_{2}$ (en este orden), y así sucesivamente (es decir, si usted lee la columna por columna, de izquierda a derecha, luego de obtener la secuencia de $\left( 1,2,\ldots,n\right) $). La prueba de ello es similar a la prueba de 2.

   Esto significa que la demanda en la 2. y la reivindicación 3. no puede sostener al mismo tiempo: El cuadro que se requiere para 2. y el cuadro que se requiere para la 3. son diferentes (a menos $\lambda$ consiste simplemente en una sola fila o una sola la columna). Mi impresión es que el Fulton/Harris solucionar este problema mediante la identificación de $V^{\otimes\mu_{1}}\otimes V^{\otimes\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes V^{\otimes\mu_{l}}$ with $V^{\otimes n}$ en la manera no estándar: en lugar de dejar el paréntesis", que permutar el tensor de factores, por lo que el primer tensor de factores en cada uno de los paréntesis se lean primero, luego el segundo tensor de factores, etc. En otras palabras, identifican a cada tensor \begin{align*} & \left( a_{1}\otimes a_{2}\otimes\cdots\otimes a_{\mu_{1}}\right) \otimes\left( b_{1}\otimes b_{2}\otimes\cdots\otimes b_{\mu_{2}}\right) \otimes\cdots\otimes\left( g_{1}\otimes g_{2}\otimes\cdots\otimes g_{\mu_{l} }\right) \\ & \in V^{\otimes\mu_{1}}\otimes V^{\otimes\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes V^{\otimes\mu_{l}} \end{align*} (donde las letras "$a$" y "$b$" aquí no tienen nada que ver con $a_{\lambda}$ y $b_{\lambda}$) con \begin{align*} & \underbrace{a_{1}\otimes b_{1}\otimes\cdots}_{\text{all tensor factors with subscript }1}\otimes\underbrace{a_{2}\otimes b_{2}\otimes\cdots}_{\text{all tensor factors with subscript }2}\otimes\cdots\otimes\underbrace{a_{\mu_{1} }\otimes b_{\mu_{1}}\otimes\cdots}_{\text{all tensor factors with subscript }\mu_{1}}\\ & \in V^{\otimes n}, \end{align*} en lugar de con el tensor de la \begin{align*} & a_{1}\otimes a_{2}\otimes\cdots\otimes a_{\mu_{1}}\otimes b_{1}\otimes b_{2}\otimes\cdots\otimes b_{\mu_{2}}\otimes\cdots\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes\cdots\otimes g_{\mu_{l}}\\ & \in V^{\otimes n} \end{align*} como lo hicimos anteriormente. Si usted hace este cambio, entonces el cuadro que se requiere 3. es la misma que la requerida para 2.

4. Obtener un texto mejor. Fulton/Harris son conocidos por handwaving y verdades a medias. Fulton Jóvenes de cuadros es mucho más legible en todas partes he tratado de leer ella, aunque no sé si cubre las cosas que usted necesita.