Espectáculo $\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n}$ es un número entero para $n$ mayor que o igual a $0$

Question

Mostrar $$\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n}$$ is an integer for $n$ greater than or equal to $0$.

Podría alguien por favor me ayude con esta prueba? Gracias!

Answer 1

Se puede ver que $n! \cdot 2^n$ es exactamente $\prod_{i=1}^n 2i$.

A continuación, cualquiera de estos (incluso) el número que aparece en el numerador $(2n)! = \prod_{j=1}^{2n}j$.

A continuación, la división es un número entero. Es exactamente $\prod_{i=1}^n (2i-1)$.

Answer 2

Hay $mn$ de la gente ($m,n$ son números enteros no negativos). Queremos poner en $n$ grupos, cada uno compuesto de $m$ de la gente. Deje $N$ el número de maneras de hacerlo. Si etiquetamos a los grupos, digamos, grupos $1$, $2$, $\ldots$, $n$, hay $n!$ formas para el etiquetado. Por lo tanto, no se $n!\cdot N$ maneras de poner $mn$ personas en $n$ etiquetado de los grupos.

Ahora, de $mn$ de la gente, podemos elegir en $\binom{mn}{m}$ formas de $m$ a las personas y ponerlas en grupo $1$. Para $k=2,3,\ldots,n$, podemos colocar $m$ de las personas del resto de las $mn-m(k-1)$ de las personas en el grupo $k$ $\binom{mn-m(k-1)}{m}$ maneras. Por lo tanto, podemos realizar esta tarea (con la etiqueta de grupos) en $\binom{mn}{m}\binom{mn-m}{m}\binom{mn-2m}{m}\cdots\binom{2m}{m}\binom{m}{m}=\frac{(mn)!}{(m!)^n}$ maneras.

Es decir, $n!\cdot N=\frac{(mn)!}{(m!)^n}$. Ergo, $\frac{(mn)!}{(m!)^nn!}=N$ es un número entero. Tu pregunta es un caso particular donde $m=2$.

En paralelo a Laurent y mathlove argumentos, vamos a demostrar que $\frac{(mn)!}{(m!)^nn!}=N=\prod_{k=1}^n\binom{mk-1}{m-1}$. Considere de nuevo el $mn$ de la gente que se coloca en $n$ (sin etiqueta) grupos, cada uno con $m$ de los miembros. Escoge a una persona. Él tiene que estar en un grupo. Por lo tanto, este grupo de necesidades $m-1$ otros miembros que pueden ser elegidos desde el restante $mn-1$ de personas en $\binom{mn-1}{m-1}$ maneras. Para $k=2,3,\ldots,n$, ya tenemos $k-1$ grupos, y así nos escoge a una persona de $mn-m(k-1)$ de la gente. Poner a esta persona en un grupo, y elija $m-1$ a las personas a estar en el mismo grupo del resto de la piscina de $mn-m(k-1)-1$ de personas en $\binom{mn-m(k-1)-1}{m-1}$ maneras. Esta muestra $N=\binom{mn-1}{m-1}\binom{mn-n-1}{m-1}\cdots\binom{2m-3}{m-1}\binom{m-1}{m-1}=\prod_{k=1}^n\binom{mk-1}{m-1}$. Al $k=2$, podemos recuperar Laurent de la fórmula: $\frac{(2n)!}{2^nn!}=\prod_{k=1}^n(2k-1)$.

Answer 3

Funciona la inducción.

Para el paso inductivo:

$$\frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot 2^{n+1}}=\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n}\cdot\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)\cdot 2}=\frac{(2n)!}{n!\cdot 2^n}\cdot(2n+1)$$