Demostrar que $a$ no puede ser un primo

Question

Los lados de un triángulo tienen una longitud $a,b,c$ donde $a,b,c$ son números enteros y $a>b$ ángulo opuesto a $c$ es $60$ grados. Demostrar que $a$ No puede ser un primo

Answer 1

Por la Ley de los Cosenos, tenemos $$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\angle ACB)=a^2+b^2-ab\implies(c+b)(c-b)=a(a-b). $$ Ahora, supongamos que $a$ es primo. Entonces, o bien $a|c+b$ ou $a|c-b$ . Pero por la desigualdad del triángulo, $a>c-b$ por lo que debemos tener $$ a|c+b. $$ A continuación, porque el ángulo opuesto $c$ es $60$ grados, cualquiera de los ángulos restantes es al menos tan grande como $60$ . Así, por la Ley de los Senos, podemos deducir que $c\leq\max\{a,b\}=a$ . Esto, junto con $b<a$ implica que $c+b<2a$ . Pero $a|c+b$ por lo que debemos tener $a=c+b$ violando la desigualdad del triángulo y dándonos la contradicción deseada.