Una pregunta básica acerca de la integración

Question

He leído que si $f$ es integrable, es acotada. Pero considere el $f=x^{-\frac 12}$, es integrable en a $[0,1]$, pero es no acotada. Puede usted explicar？

Answer 1

$\int_0^1 x^{-1/2}\,dx$ es llamada una integral impropia.

$f(x)=x^{-1/2}$ no es (de Riemann) integrable sobre $[0,1]$, como se dijo ya que esta función no está delimitado en $[0,1]$ (y no se define en $0$; pero vamos a decir $f(0)=0$ en el siguiente). Esto se deduce de la definición de la integral de Riemann en términos de sumas de Riemann:

$f$ es Riemann integrable (en adelante sólo "integrable") $[a,b]$ $\int_a^b f(x)\,dx=L$ si por cualquier $\epsilon>0$ no es un porcentaje ( $\delta>0$ , de modo que para cualquier suma de Riemann $R_f$ $[a,b]$ correspondiente a una partición con el tamaño de la malla en la mayoría de las $\delta$, $$|L - R_f|<\epsilon$$

Para un no-limita la función en $[a,b]$, uno puede encontrar una partición de $[a,b]$ arbitrariamente pequeño tamaño de la malla y de la correspondiente suma de Riemann que es tan grande como se desee en valor absoluto (por $f(x)=x^{-1/2}$, tome la primera a la subinterval de la partición se $[0,\delta]$ $\delta$ pequeños, y elegir un punto de prueba $x_1$ en este intervalo, de modo que la altura del rectángulo correspondiente a este subinterval es grande). Esto implica que la función no es integrable sobre $[a,b]$.

Así que sin delimitar funciones no integrables, un hecho que los cultivos de la definición misma de integrabilidad.

Pero, a veces, una desenfrenada función puede ser pensado como "integrables". Por ejemplo, el área bajo la gráfica de $f(x)=x^{-1/2}$ $[0,1]$ puede ser visto para ser finito:

La función de $f(x)=x^{-1/2}$ es integrable sobre $[\delta,1]$ cualquier $1\ge \delta>0$. Por otra parte, $\lim_{\delta\rightarrow 0^+}\int_\delta^1 x^{-1/2}\, dx$ existe. Parece plausible para definir el área bajo la gráfica de $f(x)=x^{-1/2}$ $[0,1]$ ya que el valor de este límite.

Por esta razón, decimos (o debería decir) $f(x)=x^{-1/2}$ es impropiamente integrable sobre $[0,1]$.

Answer 2

Para una función de $f$ es Riemann integrable en un intervalo de tiempo dado, de hecho, $f$ debe estar acotada. De lo contrario, no superior de Darboux suma es finita.

Lebesgue integrabilidad es diferente y no requieren de la función a ser limitada, por ejemplo, $f:x\mapsto x^{-1/4}$ es Lebesgue integrable en $(0,1)$ (y su integral es $4/3$). Una manera sencilla de ver que esta función es Lebesgue integrable es considerar $g:x\mapsto 1+\sum\limits_{n\geqslant1}[0\lt x\leqslant 1/n^4]$. Entonces, la función de $f$ es continua, $0\leqslant f\leqslant g$$(0,1)$, y la integral de Lebesgue de $g$$1+\sum\limits_{n\geqslant1}1/n^4$, que es finito, por lo tanto $f$ es Lebesgue integrable.

Answer 3

Como ya se ha dicho que la propiedad que sólo delimitadas las funciones son integrables depende de la teoría de la integración está utilizando. En la definición de la integral de la teoría, sin delimitar funciones tienen que ser tratados de manera especial como "impropias integrales", es decir, los límites de las integrales de la delimitadas las funciones.

El indicador integral de Henstock y Kurzweil es una generalización de la integral de Riemann que evita la necesidad de la noción de integral impropia. El medidor integral es la integral de Riemann como el uniforme de la continuidad de la continuidad: en la integral de Riemann de las tiras en una partición, todos tienen el mismo ancho, mientras que en el indicador integral de la anchura de las tiras pueden variar, por lo que se puede controlar el impacto de los locales de su mal comportamiento. Esto significa que las integrales como $\int_0^1 x^{-\frac{1}{2}}dx$ no necesita ningún tratamiento especial de los limitando el proceso necesario para que la integral impropia en la definición de la integral de la teoría es superfluo.

El medidor integral tiene otras ventajas también. E. g., a diferencia de la de Riemann y Lebesgue teoría, el teorema fundamental del cálculo para el indicador integral no es necesario suponer que el integrando es integrable. Es una lástima que el medidor integral no es más ampliamente enseñado.

Answer 4

Todo depende de lo integral que estamos hablando. Es Riemann integral de Lebesgue la integral? Para la integral de Riemann tenemos una definición con las sumas de Riemann. Si la función no está acotada, entonces el valor de cualquier suma de Riemann puede ser arbitrariamente grande, por lo que no converge a un número finito de valor y la función no es integrable. Sin embargo la gente se dio cuenta del problema y si hay una singularidad en un punto determinado (como $0$ aquí) podemos calcular el límite de las integrales de $\int_\varepsilon^1 f$ y llamar a la integral sobre la $[0,1]$. Se llama "el valor del capital".

Para la integral de Lebesgue no hay ningún tipo de limitaciones (pero no quiere decir que siempre es mejor que la integral de Riemann).