Polígono convexo inscrito en un círculo con vértices que crean matriz. Demostrar que el rango de esta matriz es menor o igual a 2.

Question

Consideremos un polígono convexo inscrito en una circunferencia con vértices $P_1$ , ..., $P_n, \ n \ge 3$ . Sea $A$ sea la matriz $n \times n$ tal que

$\begin{equation} a_{ij} = \begin{cases} |P_iP_j| & \text{if $i > j$,}\\ -|P_iP_j| & \text{if $i \leq j$.}\\ \end{cases} \end{equation} $

Demostrar que $rank(A) \leq 2. $

Obviamente:

$\begin{equation} A = \begin{bmatrix}0 & -|P_1P_2| & ... & -|P_1P_n|\\|P_2P_1| & 0 & ... & -|P_2P_n|\\ ... & ... & ... & ...\\|P_nP_1| & |P_nP_2| & ... & 0 \end{bmatrix} \end{equation} $

donde cada elemento a la izquierda de la diagonal es positivo y a la derecha negativo. No sé muy bien cómo continuar. ¿Alguna pista?

Answer 1

Poner el origen $O$ de un sistema de coordenadas en el centro del círculo que tiene radio $r$ . Elija la dirección del $x$ -tal que existen ángulos $0 < \alpha_1 < \alpha_2 <\ldots <\alpha_n < 2\pi$ tal que $P_i = (r\cos(\alpha_i),r\sin(\alpha_i))$ .

El triángulo $OP_iP_j$ es isoescalar, por lo que si $M$ es el punto medio de $P_iP_j$ entonces triángulo $OMP_i$ es un ángulo recto en $M$ . Desde $OM$ es también la bisectriz del ángulo en $O$ en el triángulo $OP_iP_j$ obtenemos

$$\left\lvert\sin\left({\alpha_j-\alpha_i \over 2}\right)\right\rvert = \frac{\lvert MP_i\rvert}r$$

y así

$$ \lvert P_iP_j\rvert = 2 \lvert MP_j\rvert = 2r\left\lvert\sin\left({\alpha_j-\alpha_i \over 2}\right)\right\rvert$$

Fijémonos en el signo de la función trigonométrica. Tenemos $-2\pi < \alpha_j - \alpha_i < 2\pi$ y por lo tanto $-\pi < \frac{\alpha_j - \alpha_i}2 < \pi$ . Eso significa que el $\sin$ -la función es positiva/cero/negativa exactamente cuando $\alpha_j - \alpha_i$ es positivo/cero/negativo. Por la elección del $\alpha_k$ sea creciente, tenemos que $\alpha_j - \alpha_i$ es positivo/cero/negativo cuando $j>i/j=i/j<i$ .

Esto significa que el término general $(a_{ij})$ de nuestra matriz $A$ es

$$a_{ij}=2r\sin\left({\alpha_i-\alpha_j \over 2}\right)$$

Para $i=j$ ese término es $0$ (como debe ser), para $i > j$ es positivo (como debe ser) y para $i < j$ es negativo.

No escribimos cada fila como una combinación lineal de las 2 primeras filas, lo que significa que el rango $(A) \le 2$ . Nótese que por el comentario de Arnaud Mortier bajo la pregunta en realidad tenemos rango $(A) = 2$ . Un poco de experimentación con $n=3$ muestra que para obtener la fila $i$ hay que multiplicar la fila $1$ con

$$-\sin\left({\alpha_2-\alpha_i \over 2}\right) \over \sin\left({\alpha_1-\alpha_2 \over 2}\right)$$

y fila $2$ con

$$\sin\left({\alpha_1-\alpha_i \over 2}\right) \over \sin\left({\alpha_1-\alpha_2 \over 2}\right)$$

y suma los resultados. Para demostrar que esto conduce al resultado correcto, tenemos que demostrar la siguiente identidad:

$$a_{ij}\sin\left({\alpha_1-\alpha_2 \over 2}\right) = -a_{1j}\sin\left({\alpha_2-\alpha_i \over 2}\right) + a_{2j}\sin\left({\alpha_1-\alpha_i \over 2}\right).$$

Utilizando las fórmulas anteriores y eliminando el factor común $2r$ por ambas partes, hay que demostrar que

$$\sin\left({\alpha_i-\alpha_j \over 2}\right)\sin\left({\alpha_1-\alpha_2 \over 2}\right) = -\sin\left({\alpha_1-\alpha_j \over 2}\right)\sin\left({\alpha_2-\alpha_i \over 2}\right) + \sin\left({\alpha_2-\alpha_j \over 2}\right)\sin\left({\alpha_1-\alpha_i \over 2}\right).$$

Puede haber varias formas de demostrarlo, pero yo he optado por aplicar la siguiente fórmula a los tres productos:

$$\sin(X)\sin(Y)=\frac12(\cos(X-Y) - \cos(X+Y))$$

que puede demostrarse fácilmente utilizando los teoremas de adición del lado derecho. Usando esto en la igualdad a demostrar se obtiene (equivalentemente), después de eliminar el común $\frac12$ en ambos lados:

$$ \begin{eqnarray}{} \cos\left(\color{red}{\alpha_i-\alpha_j-\alpha_1+\alpha_2\over 2}\right) - \cos\left(\color{blue}{\alpha_i-\alpha_j+\alpha_1-\alpha_2\over 2}\right) = \\ -\cos\left(\color{blue}{\alpha_1-\alpha_j-\alpha_2+\alpha_i\over 2}\right) + \cos\left(\color{orange}{\alpha_1-\alpha_j+\alpha_2-\alpha_i\over 2}\right) + \\ \cos\left(\color{red}{\alpha_2-\alpha_j-\alpha_1+\alpha_i\over 2}\right) - \cos\left(\color{orange}{\alpha_2-\alpha_j+\alpha_1-\alpha_i\over 2}\right) \end{eqnarray} $$

He marcado con los mismos colores los términos que son iguales en cada lado (rojo, azul) y que se anulan en el lado derecho (naranja). Con esto concluye la demostración de la proposición.