Evaluando el límite doble $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \cos^{2m}(n! \pi x)$

Question

Tengo que encontrar el siguiente límite $$\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}[\cos(n!πx)^{2m}]$$ for $x$ rational and irrational. for $x$ rational $x$ can be written as $\frac{p}{q}$ and as $n!$ will have $q$ como su factor de que el límite debe ser igual a 1. la segunda parte de irracional me está dando problemas. Pensé por primera vez que el límite debe ser cero como valor absoluto del coseno plazo es menor que 1 y el poder infinito que usted debe conseguir $0$. Pero luego me di cuenta de que estaba equivocado. Me trajo el límite a este formulario. $$e^{-\sin^2(n!πx)m}$$ after this I find the question quite ambiguous as they have just said $x$ is irrational. If I take $x$ as $\frac{1}{n!π\sqrt{m}}$ I get the limit as $\frac{1}{e}$ but if I take $x$ as $\frac{2}{n!π\sqrt{m}}$ I get the limit as $\frac{1}{e^4}$. por favor, ayudar y decirme donde he ido mal?

Answer 1

$m>0$ El límite de $cos^{2m}(n!\pi.x)$ $n$ va hasta el infinito no existe $x$. Por ejemplo, para el número natural k, que $f(k)=1/2$ si $k$ es una potencia de número entero de $2$, caso contrario la deja $f(k)=0$. Que $x=f(0)/0!+f(1)/1!+f(2)/2!+...$