La suma de los cuadrados de los primeros a $n$ números naturales.

Question

Mi pregunta básica es: ¿cómo encontrar la suma de los cuadrados de los primeros a $n$ números naturales?

Mis pensamientos me han llevado a un interesante teorema: Faulhaber de la fórmula. Se sabe que $$1^k+2^k+\ldots+n^k=P_{k+1}(n)$$ is a polynomial of degree $n$ $(k+1)$ (!). For my problem: $$1^2+2^2+\ldots+n^2=a+bn+cn^2+dn^3.$$ al resolver un sencillo sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{ \begin{aligned} 0=&a\\ 1^2=&a+b\cdot1+c\cdot1^2+d\cdot1^3\\ 1^2+2^2=&a+b\cdot2+c\cdot2^2+d\cdot2^3\\ 1^2+2^2+3^2=&a+b\cdot3+c\cdot3^2+d\cdot3^3\\ \end{aligned} \right.$$ Así tenemos: $a=0,\,b=\frac16,\,c=\frac12,\,d=\frac13$, yo.e $$P_3(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ Mis preguntas:

1) ¿cuáles son algunas maneras de encontrar la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales?

2) (!) Cómo probar que la suma de $1^k+2^k+\ldots+n^k$ es un polinomio de grado $n$ $k+1$?

Answer 1

Un valor entero polinomio es un polinomio con coeficientes complejos tomando valores en $\mathbb{Z}$ cuando todas las variables toman valores enteros. Por ejemplo, $\frac{x^2+3x}{2}$ $\frac{13x^3+5xy^2}{6}$ son de valor entero polinomios. Claramente, el conjunto de enteros con valores de polinomios con variables $x_1,x_2,\ldots,x_n$ formar un sub-anillo de $\mathbb{Q}\left[x_1,x_2,\ldots,x_n\right]$. Un resultado por Polya estados que el anillo de enteros con valores de polinomios en una variable $x$ es un servicio gratuito de abelian grupo con base en los elementos de $\binom{x}{k}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}$$k=0,1,2,\ldots$.

Para responder a su pregunta, $x^k$ es un valor entero polinomio. Por lo tanto, $x^k=\sum_{r=0}^k \,a_r\binom{x}{r}$ algunos $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{Z}$ (obviamente, $a_n\neq 0$). Ahora, $\sum_{m=0}^n\,m^k=\sum_{m=0}^n\,\sum_{r=0}^k\,a_r\binom{m}{r}=\sum_{r=0}^k\,a_k\,\sum_{m=0}^n\,\binom{m}{r}$. Por el Hockey Stick de Identidad (ver http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Combinatorial_identity#Hockey-Stick_Identity), $\sum_{m=0}^n\,m^k=\sum_{r=0}^k\,a_k\,\binom{n+1}{r+1}$. Por lo tanto, $\sum_{m=0}^n\,m^k$ es un polinomio en a $n$ grado $k+1$, mientras que el coeficiente de $n^{k+1}$$\frac{a_k}{(k+1)!}\neq 0$. (De hecho, $a_k=k!$, por lo que sabemos que $\sum_{m=0}^n\,m^k=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\mathcal{O}\left(n^k\right)$.)

Answer 2

No es un simple combinatoria de identidad que puede ser útil aquí: $$\sum_{m=0}^n \binom{m+k}{k} = \binom{n+k+1}{k+1}$$ El lado derecho cuenta el número de subconjuntos de a $\{1,\ldots,n+k+1\}$ del tamaño de la $k+1$. El lado izquierdo de la cuenta por su elemento maximal $m+k+1$.

Simple álgebra lineal muestra que todo polinomio de grado $d$ es una combinación lineal de $\binom{n+e}{e}$ $e \leq d$ (en una forma única). En particular, podemos representar a $n^d$ en esta forma, y así la combinatoria de identidad implica que $\sum_{m=0}^n m^d$ es un polinomio de grado $d+1$.