¿Cómo generalizar la simetría para los conjuntos de dimensiones superiores?

Question

La respuesta de BrianM. Scott a esta pregunta Q: Matriz tridimensional sugiere que no hay un concepto estándar de simetría para matrices de 3, 4, N-dimensionales, en contraste con el caso de las matrices de 2-D, como en el álgebra lineal para matrices. ¿Hay definiciones alternativas de simetría para matrices de dimensiones superiores? ¿Existen definiciones específicas que se utilizan ampliamente en determinados contextos, por ejemplo, en el cálculo tensorial?

(No tengo una necesidad específica; estoy tratando de ayudar a implementar una prueba de simetría para una biblioteca de matrices [ matriz.de.núcleo para la lengua Clojure]. Dado que la biblioteca permite matrices de dimensiones superiores, hay una pregunta sobre si hay una elección natural para lo que la prueba de simetría debería devolver para las matrices de dimensiones superiores).

Answer 1

Cuando se habla de simetría para conjuntos dimensionales finitos, normalmente necesitamos un grupo de simetría y un conjunto de índices sobre los que actúa el grupo. Si cada elemento permanece invariable cuando su índice varía bajo la acción del grupo de simetría, lo llamamos simetría. Por ejemplo, para una conexión sin torsión $\Gamma^i_{kj}=\Gamma^i_{jk}$ lo llamamos simétrico porque hay un conjunto de índices $\{j,k\}$ tal que el elemento permanece invariable cuando los índices del conjunto varían bajo el grupo de simetría $S_2$ .

En general, dado un conjunto de bases $e_1,\ldots,e_n$ para cada dimensión de la matriz, la matriz puede expresarse como $A=A_{i_1,\ldots,i_n}e_1\otimes\cdots\otimes e_n$ . Esto es álgebra tensorial $T(V)$ . Para dar diferentes subalgebras de simetría, especificaremos una relación equivalente $\sim$ en las bases $e_i$ a través de un subgrupo no trivial de un grupo de simetría $S_n$ (digamos ) $e_i\otimes e_j=e_j\otimes e_i$ ). Entonces el álgebra tensorial de simetría es precisamente $S(V)=T(V)/\sim$ .

Answer 2

Yo diría que un $N$ -el conjunto de vías es simétrico si un elemento es el mismo si los índices son permutables, para todas las permutaciones.

Así que, un conjunto $T$ con elementos $t_{i_1, i_2, \dots, i_N}$ es simétrica si para todas las permutaciones $\sigma \in S_N$ donde $S_N$ es el grupo simétrico en $\{1, 2, \dots, N\}$ Tenemos $$t_{i_1, i_2, \dots, i_N} = t_{i_{\sigma 1}, i_{\sigma 2}, \dots, i_{\sigma N}}$$ para todos los elementos $t_{i_1, i_2, \dots, i_N}$ .

Para $2 \times 2$ Esto se reduce a intercambiar los dos índices, lo que lleva a la ecuación $t_{i,j} = t_{j,i}$ .

Así que, si tenemos un $2 \times 2 \times 2$ array $T$ queremos que se mantengan las siguientes igualdades: $$ \begin{align} t_{1,1,1} \\ t_{1,1,2} = t_{1,2,1} = t_{2,1,1} \\ t_{1,2,2} = t_{2,1,2} = t_{2,2,1} \\ t_{2,2,2} \end{align} $$