Deje $a$ ser un número natural mayor que $1$.
Considere los conjuntos de $ S(a):=\{f_n(a); n\in \mathbb{N}\}$,
con $f_0(a):=a$, $\ \ f_1(a):=2a-1\ \ $ y para $n>1$, $\ \ f_n(a):=f_1(f_{n-1}(a))$ .
Pregunta: hay siempre un número primo en $S(a)$, lo $a$?
Esta pregunta es planteada, porque algunos de $a$, los primos más pequeños en $S(a)$ aparentemente puede ser bastante grande, y puede tomar un gran $n$ a encontrarlo.
Ejemplos:
Con $a = 95$, el primer presidente en $S(95)$ al $n=582$, y es un $178$ dígitos prime. \begin{align*}f_{582}(95)= &148793969526219687690798316645419749525135019619289042892300334\\ &545486970624089571289662346878443815865741959129891309426553781\\ &2046389415279164757669092989298186306341246574002177\end{align*}
Con $a = 767$, el primer presidente en $S(767)$ parece ser un gran $1928$ dígitos prime.
Cualquier referencia en esta pregunta también es bienvenido.
Como @lulu señaló, $S(a)= \{ (a-1)2^n +1)\}$ es un conjunto de Proth números.
Así que la pregunta es equivalente a si existe un $k$-Proth prime, es decir, un primo de la forma $k\cdot2^m+1$, para cualquier extraño $k$.
