Supongamos que $f = x^{2}+px+q$ sea un polinomio irreducible sobre un campo $F$ y sea $G = F(u)$ la extensión de $F$ por una raíz $u$ de $f$. Cada elemento de $G$ puede ser escrito en la forma normal $a+bu$ donde $a, b \in F$. Necesito encontrar una expresión (en forma normal) para el elemento $(a+u)^{-1}$ donde $a \in F.
Este problema se ha convertido en mi pesadilla en los últimos días, ya que he intentado modelar mi respuesta a partir de un ejemplo dado en nuestras notas de clase, el cual sospecho que está incorrectamente resuelto. Así que, supongo que parte de mi pregunta aquí es preguntar si el problema ejemplo está resuelto incorrectamente.
El problema ejemplo dice que en el caso de la extensión de $\mathbb{Q}$ por una raíz $u$ del polinomio irreducible $f = x^{2} + x + 1$, para encontrar una expresión para $(a+bu)^{-1}$, debemos dividir $f$ por $a+bx$ con resto utilizando el Algoritmo de Euclides Extendido. El resultado de esto es la siguiente secuencia de pasos, los cuales he intentado y encontrado que están correctos:
$$x^{2} + x + 1 = \left( \frac{1}{b}x\right)(a+bx) + \left( 1 - \frac{a}{b}\right)x + 1 \\ = \left( \frac{1}{b}x\right) (a+bx) + \frac{1}{b} \left( 1 - \frac{a}{b}\right)(a+bx) + \left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right) \\ = \left(\frac{1}{b}x+\frac{1}{b}-\frac{a}{b^{2}} \right)(a+bx)+\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right)$$
Entonces mi profesor prosigue a decir que $\frac{a^{2}}{b^{2}}- \frac{a}{b} + 1 \neq 0$ porque entonces un número racional $-\frac{a}{b}$ sería una raíz de $f$. Además, aunque técnicamente, un paso adicional necesita completarse en el Algoritmo de Euclides, ya tenemos un polinomio $h \in \mathbb{Q}[x]$ tal que $h(a+bx)-1$ es un múltiplo de $f$.
Así que, multiplica la igualdad por $\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right)^{-1}$ para obtener
$$ \left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right)^{-1}(x^{2}+x + 1) = \left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right)^{-1}\left(\frac{1}{b}x+\frac{1}{b}-\frac{a}{b^{2}} \right)(a+bx) + 1$$
y luego toma $h = -\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{a}{b} + 1\right)^{-1}\left(\frac{1}{b}x+\frac{1}{b}-\frac{a}{b^{2}} \right) = \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}(a-b-bx) $, para que $h(u) = \frac{1}{a^{2}-ab+b^{2}}(a-b-bu)$.
Sin embargo, $h(u)(a+bu) \neq 1$ como él dice que es: Lo multipliqué yo mismo para obtener $$ h(u) (a+ bu) = \frac{a-b-bu}{a^{2}-ab+b^{2}}(a+bu) \\ = \frac{a^{2}-ab-abu + abu -b^{2}u - b^{2}u^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}} \\ = \frac{a^{2}-ab-b^{2}u-b^{2}u^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}} \\ = \frac{a^{2}-ab-b^{2}(u+u^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}} \neq 1 $$.
Pero, ¡no puedo encontrar ningún error en el proceso por el cual mi profesor encontró su función $h$! ¿Qué estoy pasando por alto aquí??
Necesito saber cómo hacer ese problema ejemplo para poder hacer el problema real que estoy intentando abordar, y ese es encontrar $(a+u)^{-1}$ para $f = x^{2}+px+q$ sobre un campo general $F$ (así, $p,q \in F$ en caso de que te lo estuvieras preguntando). Hice un proceso similar al que mi profesor hizo, aplicando el algoritmo de Euclides extendido para dividir $f$ por $a+x$:
$$x^{2}+px+q = x(a+x) + (p-a)(a+x) + q -(p-a)a \\ = (x+(p-a))(a+x)+(q-(p-a)a) $$
Al igual que en el problema ejemplo, aquí el resto $q - (p-a)a \neq 0$, porque de lo contrario, $-a \in F$ sería una raíz de $f$ cuando afirmamos que es irreducible sobre $F$ (una contradicción).
Por lo tanto, debido a esto, sé que el resto tiene un inverso, y puedo multiplicar la igualdad por dicho inverso, $(q - (p-a)a)^{-1} $ para obtener
$$(q - (p-a)a)^{-1} (x^{2}+px+q) = (q - (p-a)a)^{-1}(x+(p-a))(a+x) + 1$$
Luego, tomé $$h = - (q - (p-a)a)^{-1}(x+(p-a)) \\ = \frac{-x-(p-a)}{q-(p-a)a} = \frac{a - p - x}{a^{2}-pa+q} $$
Luego, dejando que $h(u) = \frac{a-p-u}{a^{2}-pa+q}$, nosotros deberíamos tener $h(u)(a+u) = 1$, pero en cambio obtengo $h(u)(a+u) = \left(\frac{a-p-u}{a^{2}-pa+q} \right)(a+u) = \frac{a^{2}-pa - up +u^{2}}{a^{2}-pa+q}$, ¡y no $1$!
¡¿Qué estoy haciendo mal??!
