Es esta doble vinculación de la misma como el producto interior?

Question

Si $(V, \langle \cdot$ , $ \cdot\rangle)$ es un producto interior en el espacio con doble $V^*$, entonces existe un natural de doble emparejamiento $\langle \cdot$ , $ \cdot \rangle ^*: V^* \times V \rightarrow \mathbb K$ dado por $\langle f,v \rangle ^*= f(v)$.

También cualquier producto interior el espacio se puede poner en una doble vinculación con el mismo a través del producto interior.

Lo que quiero saber es si $V$ es su propia dual (que es$V^* = V$), entonces es natural que el emparejamiento de la misma como el producto interior en $V$? Que es para todos los $u, v \in V$ $\langle u, v \rangle = \langle u, v \rangle ^*$

Gracias!

Answer 1

Un producto interior es un isomorfismo $V \overset{\sim}\rightarrow V^*,\ v \mapsto v^*$. O en la notación de corchetes es $v \mapsto \langle \cdot,v\rangle$.

Para esta pregunta tenga sentido, usted necesita para ser capaz de comparar el interior del producto y de la doble vinculación. Para realizar dicha comparación se necesita de una isomorfismo, que es por definición un mapa de $v \mapsto v^*$ que hace $\langle u,v\rangle = \langle u,v^* \rangle$ mantener.

De ello se desprende que esta pregunta tiene sentido si y sólo si la respuesta es trivialmente sí. Sin embargo, esto no siempre sucede, por ejemplo, cuando hay no $v \mapsto v^*$.

Answer 2

Deje $V$ ser un espacio vectorial. Usted tiene que nondegenerated de emparejamiento $<,>:V^*\times V\rightarrow\mathbb{R}.$ $$<f,v>=f(v)$$ Además, vamos a $(,):V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ ser producto interior en $V.$ Y le da inyectiva mapa $$\psi:V\rightarrow V^*;\psi(w)(v)=(w,v).$$ Por lo tanto para cada $v,w\in V$ se obtiene que $$<\psi(w),v>=\psi(w)(v)=(w,v).$$ Se asume que el $V$ $V^*.$ a Suponer la palabra "es" significa que $\psi$ es en realidad un isomorfismo. Por lo tanto la fijación de $f\in V^*$ $v\in V$ se puede conseguir que la $f=\psi(w)$ algunos $w.$, por lo que $$<f,v>=f(v)=\psi(w)(v)=(w,v)=(\psi^{-1}(f),v).$$

Answer 3

Tomemos, por ejemplo, $\mathbb{R}^2=X$ con el estándar de producto escalar. Su doble es isomorfo a ella, pero no existe un único isomorfismo.

Por ejemplo, llamar a $e_1,e_2$ canónica de la base de $X$, y de la llamada $e_1^*,e_2^*$ los elementos de $X^*$ tal que $$e_i^*(e_i)=1\qquad e_i^*(e_{3-i})=0$$ Si usted toma el isomorfismo $e_i\to e_{3-i}^*$, luego $$e_i^*(e_i)=1\ne 0=<e_{3-i},e_i>$$