Contraejemplo para la Asignación Abierta Teorema de la

Question

Me gustaría pedir un contraejemplo para la asignación abierta teorema:

Encontrar un discontinua lineal de asignación de $T:X \to Y$ tal que $T(X)=Y$ $X,\;Y$ son de Banach, sino $T$ no está abierto.

Me podrían ayudar con este problema? Gracias!

Answer 1

La idea es bastante simple:
Construir el operador lineal con sus propiedades deseadas en una Base de Hamel!
(Tenga en cuenta que para llegar discontinuo no se debe utilizar un ONB!)

Por comodidad vamos a $X,Y=\mathcal{l}^1(\mathbb{N})$.
Elija su Base como sigue:
$B=\{b_1,\ldots\}\cup C$ ($C$ se extiende a una Base)
Definir su operador de una que:
$T(e_n):=c_n e_n$ $T(c):=1 c$
A continuación, el operador es surjective para $c_n\neq 0$!

a) $T$ continuo (y abierto): $c_n:=1$;
b) $T$ (no continuo pero abierto): $c_n:=n$;
c) $T$ no se abre (no! continuo*): $c_n:=\frac{1}{n}$;
d) $T$ ni continua ni abrir: $c_n:=n\quad n\in 2\mathbb{N}_0$$c_n:=\frac{1}{n}\quad n\in 2\mathbb{N}_0+1$.

a) Que es la identidad del operador, de manera continua y abierta.
b) Tome $x_n:=\frac{1}{n}e_n$. A continuación, $x_n\to 0$ pero $T x_n\nrightarrow T 0$.
c) Tome $x_n:=1 e_n$. A continuación, $\{x_n\}\subseteq B_{1+\delta}$ pero nunca $T\{x_n\}\subseteq B_r$.
d) Obras analogeously.

*Nota, ya que la asignación abierta teorema sostiene que no puede construir: $T$ no abrir (pero constante).