Deje $\Omega$ $\Gamma$ dos conjuntos no vacíos y $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ $\sigma$- álgebras de más de $\Omega$$\Gamma$, respectivamente. El producto $\sigma$-álgebra de $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ se define para ser el más pequeño $\sigma$-álgebra $\Omega\times\Gamma$ que contiene los conjuntos de la forma $A\times B$$A\in\mathscr{A}$$B\in\mathscr{B}$, y se denota por a $\mathscr{A}\times\mathscr{B}$. Cuando se refiere a los subconjuntos medibles de $\Omega$, $\Gamma$ o $\Omega\times\Gamma$, voy a la media de los elementos de las respectivas $\sigma$-álgebras de$.
Dado un conjunto $L\subseteq\Omega\times\Gamma$ y elementos $\omega\in\Omega$$\gamma\in\Gamma$, las secciones de $L$ $\omega$ $\gamma$ son, respectivamente, $$L_\omega=\left\{y\in\Gamma:(\omega,y)\in L\right\}\qquad\text{and}\qquad L^\gamma=\left\{w\in\Omega:(w,\gamma)\in L\right\}.$$
El siguiente hecho es muy fácil que resultó:
Hecho: Si $L\subseteq\Omega\times\Gamma$ es medible, entonces todas sus secciones son medibles.
Ahora, el recíproco no es cierto: Si $\Omega$ es un conjunto de cardinalidad $>2^{\aleph_0}$ equipada con el sigma álgebra $\mathscr{P}(\Omega)$, el juego de poder de $\Omega$, entonces la diagonal $\Delta_\Omega=\left\{(\omega,\omega):\omega\in\Omega\right\}$ no está en el producto $\sigma$-álgebra $\mathscr{P}(\Omega)\times\mathscr{P}(\Omega)$, pero todas sus secciones (obviamente) son medibles. Para una prueba, ver Qué $\mathcal P ( \mathbb R ) \otimes \mathcal P ( \mathbb R ) = \mathcal P ( \mathbb R \times \mathbb R )$? y la referencia dada en la pregunta.
Lo que yo quiero es un simple ejemplo de ello. Resumiendo:
Pregunta: Dar una (simple) ejemplo de un no-medibles conjunto en el espacio del producto s.t. todas sus secciones son medibles.
Todos los que he podido averiguar es que el producto $\sigma$-álgebra no puede ser finito, de modo que ni $\mathscr{A}$ ni $\mathscr{B}$.
