Si hay una secuencia de medidas $\mu_n$ tal que $\mu_n(A) \overset{n}{\rightarrow} \mu(A)$ % todo $A$en el campo de % de $\sigma$y $\mu_n(\Omega)\leq c$ $(c<\infty)$ % todo $n$, entonces el $\mu$ es una medida. (problema 7, sección 1.5 Robertode Fresno)
La anterior afirmación se demuestra por el teorema de Vitali-Hahn-Saks.
Lo que quisiera saber es un ejemplo del contador para el caso cuando la condición
no está satisfecho.
Toma $\mu_n: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ que \mu_n(A) $$ = \ #(un \cap [n, \infty)). $$ Para cualquier limitado conjunto de $B$, tienes que $\mu_n(B) \rightarrow 0$. Pero, para cualquier conjunto de ilimitada $U$, $\mu_n(U) = \infty \rightarrow \infty$.
Límite $\mu$ no es una medida, porque $$ \mu(\mathbb{N}) = \infty \neq 0 = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(\{n\}). $$
Este ejemplo es muy fácil de extender a $\mu_n(A) = \lambda(A \setminus K_n)$, donde $K_n$ es una secuencia de conjuntos tales que $K_n \uparrow K$, $\infty \neq \lambda(K_n) \rightarrow \lambda(K) = \infty$.
En este caso, $\mu(K) = \infty$, mientras que $\mu(K_n) = 0$.
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