Estoy tratando duro con este ejercicio, pero se está rompiendo mi espalda.
Encontrar una base para el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo
$3x_1+x_2+x_3=0$
$6x_1+2x_2+2x_3=0$
$-9x_1-3x_2-3x_3=0$
Hago lo que sé que debo hacer. Primero se obtiene el conjunto solución del sistema mediante la reducción de como esta:
$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 2 \\ -9 & -3 & -3 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto\begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Así que yo sé que $\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix}$
Que es la solución general.
Ahora, dando los valores de $r$ $s$ de acuerdo a la norma de los vectores $i$, $j$
$\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$
En los resultados de mi, la base será:
$ ( \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix})$
Pero en lugar de eso, el libro de respuesta (estoy auto-estudio )es:
$ ( \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 3\end{bmatrix})$
Alguna idea sobre lo que estoy haciendo mal? Gracias :)