Encontrar una base para un conjunto de soluciones de un sistema lineal

Question

Estoy tratando duro con este ejercicio, pero se está rompiendo mi espalda.

Encontrar una base para el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo

$3x_1+x_2+x_3=0$

$6x_1+2x_2+2x_3=0$

$-9x_1-3x_2-3x_3=0$

Hago lo que sé que debo hacer. Primero se obtiene el conjunto solución del sistema mediante la reducción de como esta:

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 2 \\ -9 & -3 & -3 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto\begin{pmatrix} 1 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Así que yo sé que $\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix}$

Que es la solución general.

Ahora, dando los valores de $r$ $s$ de acuerdo a la norma de los vectores $i$, $j$

$\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$

En los resultados de mi, la base será:

$ ( \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix})$

Pero en lugar de eso, el libro de respuesta (estoy auto-estudio )es:

$ ( \begin{bmatrix} -1\\ 3\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 3\end{bmatrix})$

Alguna idea sobre lo que estoy haciendo mal? Gracias :)

Answer 1

Revise su expresión para $\vec x$. Creo que debería ser $\vec x=\begin{bmatrix} x_1 \\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s \\r \\s \end{bmatrix}=r\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \\1 \\0 \end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} \\0 \\1 \end{bmatrix}$

Answer 2

No sigo a este paso.

$\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$

No te quiero escribir esto como:

$\vec x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{1}{3}r-\frac{1}{3}s\\ r\\ s\end{bmatrix} = r \begin{bmatrix} \frac{-1}{3}\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} \frac{-1}{3}\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$

Si escribir fuera de los autovalores, consigue $\lambda = 1, 0 , 0$

Los correspondientes vectores propios son:

$(1, 0, 0), (-1/3, 0, 1), (-1/3, 1, 0)$ y estos deben tener un aspecto familiar para su solución.

Saludos