Serie de Fourier coeficientes de prueba

Question

Puede alguien ayudarme a entender el fouries coeficientes de la serie?

Sé que si tenemos:

$$f(n) = \sum_{n=1}^N A_n \sin(2\pi nt + Ph_n) \tag{where $Ph_n$ = phase}$$

Y porque de la $\sin(a+b)$ fórmula: $$f(n) = \sin(2\pi nt + Ph) = \sin(2\pi nt )\cos(Ph_n) + \cos(2\pi nt )\sin(Ph_n)$$ Entonces:

$$\sum_{n=1}^N A_n \sin(2\pi nt + Ph) = \sum_{n=1}^N (A_n\sin(2\pi nt )\cos(Ph_n) + A_n\cos(2\pi nt )\sin(Ph_n))$$ Y, por definición: $$a_n = A_n\cos(Ph_n)$$ $$b_n = A_n\sin(Ph_n)$$ Entonces:

$$f(n) = \sum_{n=1}^N A_n \sin(2\pi nt + Ph) = \sum_{n=1}^N (a_n\sin(2\pi nt ) + b_n\cos(2\pi nt ))$$ ¿De dónde viene el $A_n$ en la primera fórmula? Podía alguien me explique de dónde viene la $\frac{a_0}{2}$ en la fórmula de abajo? $$f(n) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$

Y lo más importante:

¿Cómo puedo prueba de las fórmulas para el $a_n$ $b_n$ coeficientes?

Por FAVOR, me searchinf de estas respuestas por DÍAS.

Answer 1

Comenzando con $$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)],$$ to find the $b_n$, multiply both sides of the equation by $\sin(mx)$ for an arbitrary but fixed positive integer $m$, and integrate from $x=0$ to $x=\pi$. Using the fact that $$\int_0^\pi \sin(nx)\sin(mx)\,dx=\begin{cases}0, &n\not=m,\\ {\pi\over 2}, &n=m,\end{cases}$$ you get $b_m={2\\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(mx)\,dx$ for each $m=1,2,\dots$ Since $m$ was arbitrary, you can change this to an $$ n y se obtiene la fórmula para los coeficientes para el seno términos.

Un argumento similar para el coseno términos que establece la fórmula de la $a_n$. En este caso, utilice el hecho de que $$\int_0^\pi \cos(nx)\cos(mx)\,dx=\begin{cases} 0, &n\not=m,\\ {\pi\over 2}, &n=m,\end{cases}$$ which leads to $$a_n={2\over \pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx, \quad n=0,1,2,\dots$$

Nota: El único propósito de que el factor de ${1\over 2}$ $a_0$ plazo es por lo que la fórmula para $a_0$ va a coincidir con el patrón de la fórmula para $n=1,2,\dots$