Implica $f$ es diferenciable en a $\mathbb R?$

Question

$f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser tal que $\forall~x\in\mathbb R$$$ \lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$exist. Does it imply $f$ is differentiable on $\mathbb R?$

Answer 1

Deje $f$ ser la función característica de los racionales (es decir, $f(x) = 1$ si $x\in\mathbb{Q}$ $f(x) = 0$ lo contrario). Para cualquier racional $x$ y real $h$, $f(x+h) = f(x-h)$ por lo que el límite es 0: esta función tiene derivada simétrica en cada racional. Sin embargo, esta función está en ninguna parte continua digamos diferenciable.