En la obra de Spivak Cálculo sobre Múltiples, la demostración del Teorema de Stokes sobre Rn comienza como sigue...
Me parece que aquí hay algo que puede ser muy confuso: Cuando se retira el k−1 formulario fdx1∧...∧^dxi∧...∧dxk a lo largo de Ik(i,α) el resultado es de nuevo un k−1 forma, que debe integrarse en un (k−1) -cubo.
Sin embargo, en la línea de abajo, la integral se ha acabado [0,1]k . Es lo mismo, ya que Ik∗(i,α)(fdx1∧...∧^dxi∧...∧dxk)=f(x1,...,xi−1,α,xi,...,xk−1)dx1∧...∧dxk−1 y luego
∫[0,1]k−1f(x1,...,xi−1,α,xi,...,xk−1)dx1∧...∧dxk−1=∫[0,1](∫[0,1]k−1f(x1,...,xi−1,α,xi,...,xk−1)dx1∧...∧dxk−1)dxk=∫[0,1]kf(x1,...,xi−1,α,xi,...,xk−1)dx1∧...∧dxk=∫[0,1]kf(x1,...,xi−1,α,xi,...,xk−1)dx1...dxk=∫[0,1]kf(x1,...,xi−1,α,xi+1,...,xk)dx1...dxk
donde la segunda línea se deduce, ya que la forma de retroceso es constante con respecto a xk y la última línea sigue ya que estamos trabajando con la integral de Riemann sobre [0,1]k así que en realidad sólo estamos cambiando el nombre de las variables. Creo que es un poco exagerado pedir al lector que "tome nota" de eso sin ninguna otra indicación de por qué es cierto.
Spivak hace un truco similar más adelante en la prueba, que noté otro Pregunta de StackExchange sobre . Después de haber recorrido los pasos de la prueba en un pequeño ejemplo, supongo que la razón para hacer esto es evitar tener que hablar de renombrar variables.
Así que mis dos preguntas son:
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¿Existe una forma más sencilla de dar sentido a la "nota" que he abordado anteriormente?
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¿Estoy en lo cierto al pensar que la integración extra se hace para que la prueba sea más concisa y evitar la discusión sobre el cambio de nombre de las variables? ¿O hay alguna otra razón que se me escapa?
