Detalles de la demostración de Spivak del teorema de Stokes

Question

En la obra de Spivak Cálculo sobre Múltiples, la demostración del Teorema de Stokes sobre $\mathbb{R}^n$ comienza como sigue...

Me parece que aquí hay algo que puede ser muy confuso: Cuando se retira el $k-1$ formulario $f dx^1 \wedge ... \wedge \widehat{dx^i} \wedge ... \wedge dx^k$ a lo largo de ${I^k}_{(i,\alpha)}$ el resultado es de nuevo un $k-1$ forma, que debe integrarse en un $(k-1)$ -cubo.

Sin embargo, en la línea de abajo, la integral se ha acabado $[0,1]^k$ . Es lo mismo, ya que ${I^k}_{(i,\alpha)}^*(f dx^1 \wedge ... \wedge \widehat{dx^i} \wedge ... \wedge dx^k) = f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^i, ..., x^{k-1})\,dx^1 \wedge ... \wedge dx^{k-1}$ y luego

$$ \begin{aligned}& \int_{[0,1]^{k-1}}f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^i, ..., x^{k-1})\,dx^1 \wedge ... \wedge dx^{k-1} \\ = & \int_{[0,1]}\left(\int_{[0,1]^{k-1}}f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^i, ..., x^{k-1})\,dx^1 \wedge ... \wedge dx^{k-1}\right)dx^k \\ = & \int_{[0,1]^{k}}f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^i, ..., x^{k-1})\,dx^1 \wedge ... \wedge dx^k \\ = & \int_{[0,1]^{k}}f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^{i}, ..., x^{k-1})\,dx^1 ... dx^k \\ = & \int_{[0,1]^{k}}f(x^1, ..., x^{i-1},\alpha,x^{i+1}, ..., x^{k})\,dx^1 ... dx^k\end{aligned}$$

donde la segunda línea se deduce, ya que la forma de retroceso es constante con respecto a $x^k$ y la última línea sigue ya que estamos trabajando con la integral de Riemann sobre $[0,1]^k$ así que en realidad sólo estamos cambiando el nombre de las variables. Creo que es un poco exagerado pedir al lector que "tome nota" de eso sin ninguna otra indicación de por qué es cierto.

Spivak hace un truco similar más adelante en la prueba, que noté otro Pregunta de StackExchange sobre . Después de haber recorrido los pasos de la prueba en un pequeño ejemplo, supongo que la razón para hacer esto es evitar tener que hablar de renombrar variables.

Así que mis dos preguntas son:

• ¿Existe una forma más sencilla de dar sentido a la "nota" que he abordado anteriormente?

• ¿Estoy en lo cierto al pensar que la integración extra se hace para que la prueba sea más concisa y evitar la discusión sobre el cambio de nombre de las variables? ¿O hay alguna otra razón que se me escapa?

Answer 1

Estoy de acuerdo en que es conceptualmente algo insatisfactorio convertir el $(k-1)$ -en integrales de dimensión en $k$ -pero evita todo tipo de notación fea. Observa, por ejemplo, que en la segunda línea de tu segundo párrafo te equivocas: deberías haber escrito $$(I^k_{i,\alpha}){}^*f dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\dots\wedge dx^k = f(x^1,\dots,x^{i-1},\alpha,x^{i+1},\dots,x^k)dx^1\wedge\dots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\dots\wedge dx^k.$$ Reescribiendo todas las integrales sobre el $k$ -(No es una cuestión de variables "restantes"; es una cuestión de anotar cuál se omite. Pero lo más probable es que sea eso lo que pretendías).