¿Cómo puedo exprimir un $\theta(t)$ $\varphi(t)$ fuera de este?

Question

Una bola a una longitud fija de masa de la varilla de columpios acerca de la virtud de la gravedad. Matemáticamente:

$$L=T-U=\frac{MR^2}{2}(\sin^2(\theta)\dot{\varphi}^2+\dot{\theta}^2)+MgR \cos(\theta)$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \theta}$$ $$MR^2 \ddot{\theta}=MR^2\sin(\theta)\cos(\theta)\dot{\varphi}^2-MgR \sin(\theta)$$ $$MR^2 \ddot{\theta}=\frac{MR^2}{2}\sin(2\theta)\dot{\varphi}^2-MgR \sin(\theta)\tag{1}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \varphi}$$ $$\frac{d}{dt}(MR^2 \sin^2(\theta) \dot{\varphi})=0$$ $$MR^2( \sin^2(\theta) \ddot{\varphi}+2\sin(\theta)\cos(\theta) \dot{\varphi}\dot{\theta})=0$$ $$MR^2( \sin^2(\theta) \ddot{\varphi}+\sin(2\theta) \dot{\varphi}\dot{\theta})=0\tag{2}.$$

Todas las ideas que a la domesticación de estas ecuaciones? Cualquier aproximados trucos?

Edit: se me olvida que es muy útil si puedo publicar algunos de mis propios puntos de vista para ayudar a ms responden

1. $\sin(\theta)=\theta+o(\theta^3)$, de manera aproximada $\sin(\theta) \approx \theta$
2. Para el coseno, no es tan fácil, porque $cos(\theta)=1+o(\theta^2)$ no es para siempre, así que quizás $cos(\theta) \approx 1-\frac{1}{2}\theta^2$ podría trabajar, pero hay bastantes problemas ya con las ecuaciones de ser no lineal antes de la adición de un cuadrado plazo.

Answer 1

No hay ninguna forma cerrada solución para esto, a menos que usted asuma $\theta \ll1$. En el caso de que usted obtenga a partir de la segunda ecuación: $$\theta\dot{\phi}=C$$ Esta realidad no ayuda a usted a menos que usted haga algunas suposiciones, es decir, que cualquiera de las $\dot{\phi}$ o $\dot{\theta}$ son iguales a 0. He visto las soluciones que tratan de perturbar el sistema alrededor de uno de estos supuestos y, a continuación, utilizar una serie de Taylor para obtener una solución aproximada.

Como una de mis profesoras de física nos dijo:

Todos los problemas que se pueden resolver exactamente va a ser enseñado en su título de licenciatura. A partir de entonces, todas las aproximaciones.