encontrar todas las soluciones posibles

Question

El conjunto de todos los $x$ en el intervalo $[0,\pi]$ para lo cual $2\sin^2x-3\sin x+1 \geq 0$ es _________________.

Lo he intentado factorizando primero y luego comparando con la desigualdad. Mi último paso ha sido $(\sin x-1)(2\sin x-1) \geq 0$ .

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $\sin x -1 \lt 0$ excepto en un punto del intervalo $[0,\pi]$ . Donde $\sin x -1 = 0$ es igual a cero, se cumple la desigualdad requerida. En caso contrario, se necesita $2 \sin x -1 \le 0$ ¿Puedes resolverlo?

Answer 2

Dejar $y = \sin t.$ tienes $$2y^2 -3y + 1 = (2y-1)(y-1) \ge 0 $$ es decir $$ -1 \le y \le \frac12, \, y = 1.$$ la gama para $t$ es $$0 \le t \le \pi/6, \quad \pi/2, \quad 5\pi/6 \le t \le 2\pi. $$

Answer 3

Tal y como se ha dado, se puede factorizar la expresión, de la siguiente manera $$2\sin^2x-3\sin x+1\geq 0 \implies (2\sin x-1)(\sin x-1)\geq 0$$ $$\implies \left(\sin x-\frac{1}{2}\right)(\sin x-1)\geq 0$$ Al resolver la desigualdad anterior para $\sin x$ obtenemos $$\sin x\leq \frac{1}{2}\space \text{or} \space \sin x\geq 1 $$ Ahora, resolviendo la primera parte para el intervalo dado $[0, \pi]$ obtenemos dos conjuntos de valores de $x$ como sigue $$0\leq x\leq \frac{\pi}{6}\space \text{&} \space \frac{5\pi}{6}\leq x\leq \pi$$ Del mismo modo, resolviendo la segunda parte para el intervalo dado $[0, \pi]$ obtenemos el valor de $x$ como sigue $$x=\frac{\pi}{2}$$ Por lo tanto, al escribir la solución completa de la desigualdad dada, tenemos $$x\in \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \{\frac{\pi}{2}\} \cup \left[\frac{5\pi}{6}, \pi\right] $$

Answer 4

Este trinomio es continuo en su intervalo, así que ponlo a cero, encuentra las raíces, de las que puedes hacer una tabla, y lee los valores de $x$ por lo que es $+$ o $-$ .

Pista: las raíces son $\frac{\pi }{2}$ y $\frac{\pi }{6}$ .