Dejemos que $\Sigma$ sea una superficie orientable cerrada de género $g$ . Asumiré PL o DIFF como categoría subyacente, aunque para la dimensión $\leq 3$ los que coinciden con TOP.
Dejemos que $\gamma_i$ sean las incrustaciones de $S^1$ y $[\gamma_i]$ denotan la imagen de su clase fundamental en $H_1(\Sigma)$ .
Supongamos que $[\gamma_i]$ son linealmente independientes. Si $\Sigma - \cup \gamma_i$ no fuera conectada, la clase de homología representada por un subconjunto de los bucles simples (hasta los signos) sería nula-homóloga, de ahí la condradicción. Para esta afirmación necesitamos el hecho de que la clase fundamental de la frontera de una variedad orientable compacta $M$ es nulo en $H_{n-1}(M)$ . Esto puede verse mediante un argumento fácil de estratificar o mediante una construcción simplicial explícita (esta última en dimensiones bajas $\leq 2$ es bastante intuitivo pero también $\leq 3$ debería funcionar). Una tercera forma de ver esto sería considerar la secuencia exacta larga del par $(M,\partial M)$ . Usted obtendrá $H_n (M,\partial M) \stackrel \partial \to H_{n-1}(\partial M) \to H_{n-1}(M)$ y luego utilizar el hecho de que el operador de frontera $\partial$ envían la clase fundamental a la clase fundamental, donde consecuentemente esta última estará en el núcleo del mapa de inclusión $i$ .
Para un intento riguroso, por qué esto contradice el LHS: Dejemos que $\hat \Sigma \subset \Sigma$ sea un subconjunto cerrado cuyo interior sea un componente de $\Sigma - \cup \gamma_i$ . Entonces existe un subconjunto (de índices) $I \subset \{1,\cdots ,g\}$ , de tal manera que $L = \bigcup_{i\in I} \epsilon_i \gamma_i$ es el límite de la variedad orientable $\hat \Sigma$ . Aquí $\epsilon_i \in \{+,-\}$ en el sentido de la orientación. Pero entonces la inclusión $L \to \Sigma$ factores a través de $(L,\emptyset) \to (\hat \Sigma ,L) \to (\Sigma,\emptyset) $ y por funtorialidad el mapa inducido en $H_1$ envía la clase fundamental de $L$ a cero, por lo que $\sum_{i \in I} \epsilon_i [\gamma_i]=0$ . (el argumento de la funtorialidad funciona, porque hemos demostrado anteriormente que $L \to (\hat \Sigma,L)$ induce un mapa sobre la homología con esta propiedad).
Para la otra implicación queremos considerar el subgrupo $G \subset \pi_1(\Sigma)$ generado por el $[\gamma_i]$ . Por la teoría de los espacios de cobertura, existe un espacio de cobertura correspondiente a este subgrupo $G$ . Este espacio de cobertura (que es único hasta el isomorfismo de cobertura) también puede obtenerse cortando a lo largo de las esferas incrustadas $\gamma_i$ , tomando $\mathbb Z^g$ copias del complemento conectado y pegarlas bajo los bucles bicolares correspondientes. Es importante elegir tal bicollar, no sólo para permanecer en la categoría, sino también porque esto significa que usted consigue en el complemento "límite" $g$ + signos y $g$ - signos menos. Así que se puede construir el espacio de cobertura a través de una especie de enrejado. Kt es fácil ver que $Deck \cong \mathbb Z^g$ y, por tanto, como el rango se conserva en las secuencias exactas cortas, también $G \cong \mathbb Z^g$ . Esto implica la independencia lineal del $[\gamma_i]$ .
De alguna manera me apresuré en la última parte debido a una reunión a la que llego tarde. Si tienes más preguntas, estaré encantado de editarlo y entrar en más detalles. Puedes encontrar detalles sobre la construcción, por ejemplo, en el libro "Nudos" de Burde y Zieschang, en el capítulo 4.2, si no recuerdo mal.
Espero que esto ayude, aunque algunos detalles quedaron abiertos.
