Deje $f \in AC[0,1],f(0)=0 $. Mostrar que $\int_0^1 \lvert f(x)f'(x)\rvert\,dx \leq \int_0^1\lvert f'(x)\rvert^2 \, dx$

Question

Traté de demostrar este problema por este camino, pero atrapado:

Deje $x_0 = 0\lt x_1 \lt x_2<\cdots< x_n=1$

\begin{align} & \int_0^1\left| f(x)f'(x)\right|\,dx = \int_0^1\left| f(x)\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right|\,d \\[10pt] = {} & \int_0^1 \left| \frac {f(x)f(x_0+h)}{h} \right| \, dx - \int_0^1\left| \frac{f(x)f(x_0)}{h}\right| \,dx \\[10pt] = {} & \int_0^1\left| \frac{f(x)f(h)}{h}\right| - \left| \frac{f(h)}{h}\right|\,dx \int_0^1\left| f(x)\right| \,dx \end{align}

y

$$\int_0^1\left| f'(x)\right|^2\,dx = \int_0^1\left| \frac{f(x_0+h-f(x_0)}{h} \right|^2 \,dx = \int_0^1\left| \frac{f(h)}{h}\right|^2\,dx = \left| \frac{f(h)}{h} \right|^2$$

Traté de simplificar la derecha y a la izquierda, pero no hay ninguna manera obvia de probar. O tal vez estoy en el worng dirección?

Answer 1

Tenemos

$$|f(x)| = \left|\int_0^x f'(t) \, dt \right| \leqslant \int_0^x |f'(t)| \, dt.$$

Definir

$$F(x) = \int_0^x |f'(t)| \, dt. $$

Entonces $F(0) = 0$, $F'(x) = |f'(x)|$ y

$$\int_0^1 |f(x)f'(x)| \, dx \leqslant \int_0^1F(x)F'(x) \, dx = \int_0^1\frac{1}{2}(F^2)' \, dx =\frac{1}{2}F^2(1).$$

Por el Cauchy-Schwarz desigualdad,

$$\frac{1}{2}F^2(1) = \frac{1}{2} \left(\int_0^1|f'(x)| \, dx \right)^2 \leqslant \frac{1}{2}\int_0^1 |f'(x)|^2 \, dx.$$

Por lo tanto,

$$\int_0^1 |f(x)f'(x)| \, dx \leqslant \frac{1}{2}\int_0^1 |f'(x)|^2 \, dx < \int_0^1 |f'(x)|^2 \, dx $$