El valor esperado de la distribución normal dado que la distribución es positiva

Question

Dado $X \sim N(0, \sigma^2)$ (es decir, $X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una variable aleatoria normal con media de $0$ y la varianza $\sigma^2$), estoy tratando de calcular el valor esperado de $X$ que $X>0$. Pensé que la integración de $$ \int_{0}^{\infty} x\cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx $$ lo haría, pero el valor, $\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}$, parece ser por un factor de 2, basado en alguna otra información que tengo; yo creo que la respuesta debería ser $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma$.

Pregunta: ¿Cómo debe el valor esperado de $X$, dado que el $X>0$, se calcula?

Answer 1

Deje $f(x)$ ser la densidad de $X$; deje $F(x)$ ser su CDF.

Entonces la densidad de $X$, con la condición de ser positivo, es $f(x)/P(X \ge 0)$ si $x \ge 0$, e $0$ lo contrario.

De curso $P(X \ge 0) = 1/2$ por simetría, por lo que la densidad de $X$ condicional en $X \ge 0$ $2f(x)$ ($x \ge 0$).

Por lo que necesita para hacer la integral $$ \int_0^\infty 2xf(x) \: dx $$ que es el doble de la integral que has escrito.