Una buena función de la

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico. Llamamos a una función continua $f:X\to \mathbb R$ "buena función" si para cada función continua $g:X\to \mathbb R$, el conjunto: $S=\{x\in X;f(x)g(x)=1\}$ ser un subconjunto compacto de $X$. Demostrar que la adición de dos buenas función es buena.

Mi idea es la siguiente:
Deje $f:X\to \mathbb R$ ser una buena función y $r\neq 0$ ser cualquier número real y $g:X\to \mathbb R$ ser arbitraria función continua. A continuación, el conjunto de: $$S_r=\{x\in X;f(x)g(x)=r\}$$ is compact to. And when $r=0$, the set: $$S_0=\{x\in X;f(x)g(x)=0\}$$ is close in $X$. Now, let $f_1,f_2:X\to \mathbb R$ be tow good function's. Define: $$S_r(g)=\{x\in X;f_1(x)g(x)=r \,\,\,and\,\,\, f_2(x)g(x)=1-r\}$$ Then, for every $r\in \mathbb R$, the set $S_r(g)$ is compact and: $$S=\{x\in X;\,(f_1(x)+f_2(x))g(x)=1\}=\cup_{r\in \mathbb R}S_r(g)$$ Now, if $\{y_n\}_{n\in \mathbb N}\subconjunto S$ be on arbitrary sequence. If infinitely many of $\{y_n\}_{n\in \mathbb N}$ belong to $S_{r_0}(g)$ for some $r_0 \in\mathbb R$, then because of $S_{r_0}(g)$ is compact, the sequence $\{y_n\}_{n\in \mathbb N}$ has a convergence subsequence. But when for every $i\in \mathbb R$, almost finitely term's of $\{y_n\}_{n\in \mathbb N}$ belong to $S_r(g)$, how can I prove that $\{y_n\}_{n\in \mathbb N}$ tiene una convergencia larga?

Answer 1

No sé si esto es correcto, pero me dio mi mejor golpe:

Lema: Una función continua $f:X \to \mathbb{R}$ es buena si y sólo si es de forma compacta compatible.

Prueba: Supongamos que $f$ es de forma compacta compatible, y deje $C = $supp$f$ denotar el apoyo de $f$. Entonces para cualquier mapa continuo $g:X \to \mathbb{R}$, la $\{x : f(x)g(x)=1\}$ es un subconjunto cerrado del conjunto compacto $C$, por lo tanto compacto.

Por el contrario, supongamos que $f$ no es compacta compatible. Desde supp$f$ es cerrado, pero no es compacto, existe una secuencia de puntos de $x_n$ tal que $x_n$ ¿ no convergen a lo largo de una larga a cualquier punto de $X$, y tal que $f(x_n)\neq 0$ todos los $n$. Deje $A = \{x_n: n \in \mathbb{N}\}$. A continuación, $A$ es cerrado (porque si $x \notin A$, entonces existe un barrio de $x$ que no contiene las $x_n$, de lo contrario el $x_n$ convergería a lo largo de una larga a $x$). Por lo tanto, por la extensión de Tietze teorema, existe un mapa continuo $g:X \to \mathbb{R}$ tal que $g|_A=\frac{1}{f}$. También, $A$ es no compacta (de lo contrario el $x_n$ convergería a lo largo de una larga). Por lo tanto, $\{x:f(x)g(x)=1\}$ es noncompact (ya que contiene el cerrado, noncompact set $A$), por lo $f$ no puede ser una buena función. Esto demuestra el lema. $\Box$

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que la suma de los dos de forma compacta las funciones compacta está soportado. Observe que si $f_1$ $f_2$ son de forma compacta compatible, entonces supp$(f_1+f_2) \subset($supp$f_1) \cup($ supp$f_2$), y cerrado desde entonces los subconjuntos de conjuntos compactos es compacto, se sigue que supp$(f_1+f_2)$ es compacto.