Trigonométricas raíz de un polinomio

Question

Si $4\cos^2 \left(\dfrac{k\pi}{j}\right)$ es el más grande de la raíz de la ecuación
$$x^3-7x^2+14x-7=0$$
donde $\gcd(k,j)=1$

Evaluar $k+j$

Traté de factorización de la ecuación pero no fue de mucha ayuda. Por cierto, la respuesta que se ha dado en mi libro es $k=1$ $j=14$

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias!

Answer 1

Deje $z=\frac{k\pi}{j}$. Si $4\cos^2z$ es la raíz de $x^3−7x^2+14x−7=0$, luego
$2\cos z$ es la raíz de $x^6−7x^4+14x^2−7=0$.
Vamos plug $x=2\cos z=2\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ y ver lo que sucede.
La expresión viene a ser $e^{-6 i z} \left(-e^{2 i z}+e^{4 i z}-e^{6 i z}+e^{8 i z}-e^{10 i z}+e^{12 i z}+1\right)=0$.
Vamos a cambiar las variables de nuevo, $-e^{2 i z}=t$, lo $-t^{-3}\left(1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6\right)=0 \iff \frac{t^7-1}{t^3(t-1)}=0$, lo $-e^{2 i z}$ $7$th-de la raíz de la unidad: $-e^{2iz}=e^{i\frac{2\pi k}{7}}, \gcd(k,7)=1$.
$$2iz+\pi i=i\frac{2\pi k}{7}$$ $$z=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{7}$$ Ahora necesitamos $Re(t)$ a ser máxima, así que lo seleccionamos $k$ $-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi k}{7}$ser la más cercana a $0$: $z=\pm\frac{\pi}{14}$.
La respuesta es $13$ o $15$.