Para que $p$ de los números primos es $p^{p-1}$ es un divisor de a $(p-1)^p + 1$?

Question

$p = 2$ e $p = 3$ definitivamente son soluciones. Creo que estas son todas las soluciones, pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Consideramos que el número dado $N(p) =(p-1)^p+1$ modulo $p^3$. En la siguiente, $p$ es un primer $>3$. Utilizando el binomio de la fórmula tenemos: $$ \begin{aligned} N(p)&\equiv 1+ (-1)^p + p\binom p1(-1)^{p-1} + p^2\binom p2(-1)^{p-2} \\ &= 1+ (-1) + p^2 - p^2\frac 12p(p-1) \\ &= p^2(\text{Number no divisible by %#%#%})\ . \end{aligned} $$

Answer 2

Según el teorema del binomio y asumiendo $p$-impar, por lo tanto $(-1)^p=-1$ e $(-1)^{p-1}=1$ $$(p-1)^p+1=\sum\limits_{k=0}^p \binom{p}{k}p^k(-1)^{p k}+1=\\ -1+\sum\limits_{\color{red}{k=1}}^p \binom{p}{k}p^k(-1)^{p k} +1=p^2+\sum\limits_{\color{red}{k=2}}^p \binom{p}{k}p^k(-1)^{p k}=\\ p^2\left(1+\sum\limits_{k=2}^p \binom{p}{k}p^{\color{red}{k-2}}(-1)^{p k}\right)=...$$ también se $\binom{p}{2}=\frac{p(p-1)}{2}$ por lo que podemos extraer una $p$ a partir de ella, así $$...=p^{\color{red}{2}}\left(1+p\cdot Q\right)$$ y la respuesta de la siguiente manera.