¿Cómo la ecuación de Schroedinger es una ecuación de onda?

Question

Ecuaciones de onda toma la forma:

$$\frac{ \partial^2 f} {\partial t^2} = c^2 \nabla ^2f$$

Pero la ecuación de Schroedinger toma la forma:

$$i \hbar \frac{ \partial f} {\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m}\nabla ^2f + U(x) f$$

Los parciales con respecto al tiempo no son del mismo orden. ¿Cómo puede considerarse la ecuación de Schroedinger como una ecuación de onda?

Answer 1

En realidad, una ecuación de onda es cualquier ecuación que admite en forma de ondas de soluciones, que toman la forma $f(\vec{x} \pm \vec{v}t)$. La ecuación de $\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = c^2\nabla^2 f$, a pesar de ser llamada "la ecuación de onda," no es la única ecuación que hace esto.

Si se conecta la solución de onda en la ecuación de Schroedinger para potencial constante, el uso de $\xi = x - vt$

$$\begin{align} -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}f(\xi) &= \biggl(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U\biggr) f(\xi) \\ i\hbar vf'(\xi) &= -\frac{\hbar^2}{2m}f''(\xi) + Uf(\xi) \\ \end{align}$$

Claramente, esto sólo depende de $\xi$, no $x$ o $t$ individualmente, lo que demuestra que se puede encontrar en forma de ondas de soluciones. Terminan pareciéndose a $e^{ik\xi}$.

Answer 2

Ambos son tipos de ecuaciones de onda debido a que las soluciones se comportan como se espera de "las olas". Sin embargo, matemáticamente hablando son ecuaciones diferenciales parciales (EDP), que no son del mismo tipo (por lo que esperan que la clase de soluciones, teniendo en cuenta algunas condiciones de contorno, se presentará un comportamiento diferente). Las restricciones sobre los valores propios del operador lineal también son particulares a cada uno de los tipos de PDE. Por lo general, un segundo orden de la ecuación diferencial parcial en dos variables puede ser escrito como

$$A \partial_x^2 u + B \partial_x \partial_y u + C \partial_y^2 u + \text{lower order terms} = 0 $$

La ecuación de onda en una dimensión de la que usted cita es una forma simple para un hiperbólico de la PDE satisfacer $B^2 - AC > 0$.

La ecuación de Schrödinger es una parabólica de la PDE en el que tenemos $B^2 - AC < 0$. Se puede asignar a la ecuación del calor.