Establece que se puede expresar como la imagen de exactamente un contable número de funciones.

Question

Cuando se trabaja con una curva de $C\subset\mathbb{R}^2$ a menudo uno encuentra que a pesar de $C$ no puede parametrizar como una función de $y(x)$ de la $X-$eje, se admite una parametrización de la $x(y)$ de la $Y-$eje. Un ejemplo recurrente es la cúspide de la $x^3-y^2=0$;

Es fácil de cocinar una curva que no es parametrizadas como una función tanto de la $X$ $Y$ eje, sino más bien como una función de algunos girar el eje $X'$. Siguiendo esta línea de pensamiento empecé a pensar que, para un determinado conjunto de $S\subset\mathbb{R}^2$, sobre el número de ángulos $\theta$ tal que $S$ admite una parametrización de $X_\theta$, el girado $X$ eje con un ángulo $\theta$. Esto es equivalente a encontrar el conjunto $$ \Theta_S:=\{\theta\[0,\pi):P_\theta|_S\text{ es inyectiva}\}, $$ donde $P_\theta:\mathbb{R}^2\to X_\theta$ es la proyección ortogonal sobre $X_\theta$ (y '$|_S$' denota la restricción a $S$). Observe que la razón para limitarnos a los ángulos en $[0,\pi)$ es para evitar repeticiones (ya que si $S$ admite una parametrización de$X_\theta$, a continuación, también se admite una parametrización de $X_{\theta+\pi}$).

Por ejemplo, si(f) $S$ se compone de un solo punto, a continuación,$\Theta_S=[0,\pi)$; si $S$ consiste en dos puntos, a continuación, $\Theta_S=[0,\pi)\setminus\{\theta_0\}$ algunos $\theta_0$;... En general parece ser (al menos) tedioso para describir a $\Theta_S$, incluso para un finito $S$, así que me centré en la búsqueda de $|[0,\pi)\setminus\Theta_S|$ finitas $S$. La elección de puntos de $S$ en pares y contando el número total de líneas no paralelas obtenemos la desigualdad $$ |[0,\pi)\setminus\Theta_{S}|\leq\binom{|C|}{2}, $$ que (con una cardinalidad argumento) de hecho puede ser probado óptimo. Hay algunas preguntas interesantes que ya están aquí como "No existe, para cada número natural $n$, un conjunto finito $S_n$ tal que $|[0,\pi)\setminus\Theta_{S_n}|=n?$" ---este problema se siente muy familiar para mí, así que agradecería si alguien me podría dar una referencia (tal vez de M. Aigner&G. Ziegler Pruebas DEL LIBRO?)---, pero estoy relativamente satisfecho con el finito de casos en comparación con el infinito-caso:

Al $S$ es infinito, las cosas se ponen complicadas, así que vamos a pensar acerca de los familiares de las curvas. Si $S$ es una línea, a continuación, tenemos que $\Theta_S$ $[0,\pi)$ falta un punto, pero este es un gran caso de degeneración; si $S$ incluye un $C^1$-arco con un valor distinto de cero de la curvatura, a continuación, $\Theta_S\setminus[0,\pi)$ tendrá positivo de la medida de Lebesgue. De hecho, la familia de curvas de $\mathcal{S}=\{y=\alpha|x|\}_{\alpha>0}$ demostrar que la medida de este conjunto puede ser cualquier número en $(0,\pi)$. Pronto se hace evidente que el caso interesante aquí es encontrar conjuntos de $S$ tal que $\Theta_S$ es pequeña. Para cada camino cerrado $\gamma$ $\mathbb{R}^2$ tenemos $\Theta_\gamma=\phi$, y la cúspide de la dibujado por encima de los rendimientos de $|\Theta_C|=1$. Hay curvas de $C_n$$|\Theta_{C_n}|=n$? Después de jugar un rato me he encontrado con una familia de ejemplos que lograr esto $$ C_n=e^{iA_n},\hspace{.4cm}A_n:=\bigcup_{k=0}^{n-1}\left(\frac{2k\pi}{n},\frac{(2k+1)\pi}{n}\right).\text{ Gráficamente para $n=1,2,3,4$;} $$

Yo estaba muy contento cuando me enteré de esto así que empecé a buscar una curva/set $N$ tal que $|\Theta_N|=|\mathbb{N}|$. Primero pensé en algunos "situación-límite para $C_n$", y luego algo parecido a $D=\{(x,\sqrt{1-x^2}):-1<x<1,x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$. No he tenido suerte con la primera idea, y $D$ puede ser demostrado a comportarse como $C_1$ por la cardinalidad de argumento.

Preguntas: ¿tal $N$ siquiera existen? Si es así, ¿alguien puede poner un ejemplo, o al menos, la existencia de una prueba o alguna heurística pensamientos acerca de ella? También me encantaría ver un ejemplo de un conjunto $C$$|\Theta_C\setminus[0,\pi)|=|\mathbb{N}|$.

Empecé a pensar en esto sólo por diversión y pronto se hizo demasiado interesante para dejarlo ir. Lo siento por la extensión, pero no he encontrado nada en internet sobre esto (supongo que nadie pensó que podría ser de cualquier uso o, más probable, que es no sólo una frecuente de búsqueda en la web, agradecería cualquier referencia en este caso) así que definitivamente no podría explicarlo en un corto espacio. Espero que fuera legible. =)

Answer 1

La respuesta para el caso finito es sí, a excepción de $n=2$. Para $n=1$, solo tienes que elegir dos puntos distintos. Para $n\geq 3$, uno puede tomar $S_n$ son como sigue: seleccione la línea $l$, pick $n-1$ distintos puntos a lo largo de ella y, finalmente, elegir otro punto que no se en $l$.

EDIT: en Realidad, lo que responde el caso de un conjunto $C$. Escoge un countably conjunto infinito de distintas punto cualquiera de la línea de $l$, y un punto que no se en $l$.

Answer 2

Un ejemplo de un conjunto $N$ $|\Theta_N|=|\mathbb{N}|$ es $ N:=\{(x,0):x\no\in\mathbb{Z}\}\cup\{(0,1)\}; $

                  

En la imagen las líneas de $(0,1)$ a través de un agujero $(k,0)$ $N$ representan las direcciones de las proyecciones ortogonales $P_{\theta(k)}$ cuya restricción a $N$ es inyectiva. Si $P$ es cierta proyección ortogonal de a $\mathbb{R}^2$ que no es de este formulario, a continuación, cualquiera de las $P((0,1))=P((x,0))$ algunos $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ o $P$ es la proyección ortogonal con dirección a $(1,0)$ (y en este caso se colapsa todos los de $N$ pero $(0,1)$). Así que la única proyecciones ortogonales de a $\mathbb{R}^2$ cuya restricción a $N$ es inyectiva son las $P_{\theta(k)}$'s, y por lo tanto $$|\Theta_N|=|\{P_\theta(k):k\in\mathbb{Z}\}|=|\mathbb{N}|.$$

Este ejemplo nos permite generalizar con gran flexibilidad. Por ejemplo, comenzando con algunas conjunto de Cantor $C\subset\mathbb{R}$, se puede demostrar la existencia de $N_C\subset\mathbb{R}^2$ tal que $\Theta_{N_C}$ ha cardenal $c$, y sin embargo su medida de Lebesgue (en $[0,\pi)$)$0$.

He encontrado este ejemplo porque de @Fimpellizieri la respuesta. Yo sólo han estado pensando en esto el tiempo suficiente para notar que existe una especie de dualidad entre los conjuntos de $S$ a la baja y grande" $|\Theta_S|$ (parece que soy incapaz de expresar este rigurosamente). Teniendo en cuenta esto parece casi obvio que el paso de su respuesta a la mía, así que estoy aceptando su.

Agregado: me explicó esta pregunta a un par de amigos de la mina como un "juego geométrico" para ver si encuentran alguna respuesta fácil que me perdí, y uno de ellos se encuentra este impresionante:

                             

A saber: llevarse el set $e^{i[0,\pi/2]}\cup\{(1/2,1/2)\}$ y quitar un subconjunto $P$$e^{i[\pi/6,2\pi/6]}$. A continuación, el conjunto resultante $M$ satisface $|\Theta_M|=|P|$.

Esto resuelve los mismos problemas que $N$ y es un conjunto acotado; que de alguna manera estaba molesto para mí que no tuviera un fácil delimitada establecido para el caso infinito.