Tengo
$$Q = \begin{pmatrix} -\mu & \mu \\ \lambda & -\lambda \end{pmatrix}$$
y quiero averiguar el valor de $\mathbb{P}(t) = \exp(Qt)$
Así que me diagonalised $Q$ y, a continuación, trabajó por la exponencial de la matriz diagonal. Tengo esto:
$${Q}t = \pmatrix{-\mu t &\mu t \\ \lambda t & -\lambda t} = \pmatrix{1 & -\frac{\mu }{\lambda } \\ 1 & 1}^{-1} \cdot \pmatrix{0 & 0 \\ 0 & -t(\lambda + \mu)} \cdot \pmatrix{1 & -\frac{\mu }{\lambda } \\ 1 & 1}.$$
Así que, usando el medio de la matriz, tengo
$$\exp (Qt) = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & \exp(-t(\lambda + \mu))} = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & \exp(T)},$$
donde $T = -t(\lambda + \mu)$.
A continuación, el uso de $\exp (P^{-1}AP) = P^{-1}e^AP$, se suponía que iba a conseguir
$$\mathbb{P}(t) = \exp({Q} t) = \frac{1}{\lambda + \mu}\pmatrix{\lambda + \mu \exp(T) & \mu - \mu \exp(T) \\ \lambda - \lambda\exp(T) & \mu + \lambda\exp(T)}.$$
Esto es lo que hice. A primero averiguar $P^{-1}$ tengo
$$P^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{\mu}{\lambda}} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \\ -1 & 1} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \\ -1 & 1}$$
A continuación, haciendo $P^{-1}e^A$ me dio
$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) \\ -1 & \exp (T)}$$
Luego de hacer esto los tiempos de $P$ me dio
$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 + \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) & -\frac{\mu}{\lambda} + \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) \\ -1 + \exp (T) & \frac{\mu}{\lambda} + \exp (T)}$$
Multiplicando por $\lambda$ me da
$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{\lambda + \mu \exp (T) & - \mu - \mu \exp (T) \\ - \lambda + \exp(T) & \mu + \lambda \exp (T)}$$
Claramente se empezó a ir mal en la matriz antes de esto, pero no veo donde he hecho mis errores. Alguien puede ayudarme por favor?
Gracias