Donde he hecho mi error en el cálculo de $P^{-1}AP$?

Question

Tengo

$$Q = \begin{pmatrix} -\mu & \mu \\ \lambda & -\lambda \end{pmatrix}$$

y quiero averiguar el valor de $\mathbb{P}(t) = \exp(Qt)$

Así que me diagonalised $Q$ y, a continuación, trabajó por la exponencial de la matriz diagonal. Tengo esto:

$${Q}t = \pmatrix{-\mu t &\mu t \\ \lambda t & -\lambda t} = \pmatrix{1 & -\frac{\mu }{\lambda } \\ 1 & 1}^{-1} \cdot \pmatrix{0 & 0 \\ 0 & -t(\lambda + \mu)} \cdot \pmatrix{1 & -\frac{\mu }{\lambda } \\ 1 & 1}.$$

Así que, usando el medio de la matriz, tengo

$$\exp (Qt) = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & \exp(-t(\lambda + \mu))} = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & \exp(T)},$$

donde $T = -t(\lambda + \mu)$.

A continuación, el uso de $\exp (P^{-1}AP) = P^{-1}e^AP$, se suponía que iba a conseguir

$$\mathbb{P}(t) = \exp({Q} t) = \frac{1}{\lambda + \mu}\pmatrix{\lambda + \mu \exp(T) & \mu - \mu \exp(T) \\ \lambda - \lambda\exp(T) & \mu + \lambda\exp(T)}.$$

Esto es lo que hice. A primero averiguar $P^{-1}$ tengo

$$P^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{\mu}{\lambda}} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \\ -1 & 1} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \\ -1 & 1}$$

A continuación, haciendo $P^{-1}e^A$ me dio

$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 & \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) \\ -1 & \exp (T)}$$

Luego de hacer esto los tiempos de $P$ me dio

$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{1 + \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) & -\frac{\mu}{\lambda} + \frac{\mu}{\lambda} \exp (T) \\ -1 + \exp (T) & \frac{\mu}{\lambda} + \exp (T)}$$

Multiplicando por $\lambda$ me da

$$\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \pmatrix{\lambda + \mu \exp (T) & - \mu - \mu \exp (T) \\ - \lambda + \exp(T) & \mu + \lambda \exp (T)}$$

Claramente se empezó a ir mal en la matriz antes de esto, pero no veo donde he hecho mis errores. Alguien puede ayudarme por favor?

Gracias

Answer 1

Al calcular los $\exp(tQ)$, no es necesario diagonalize $tQ$. En su lugar, usted puede diagonalize $Q=V\Lambda V^{-1}$, donde los vectores columna de a $V$ son los vectores propios de a $Q$. (Cuando no recuerda si $Q=V\Lambda V^{-1}$ o $Q=V^{-1}\Lambda V$ es correcto, pensar acerca de la $QV=V\Lambda$.)

Una vez que usted tiene $Q=V\Lambda V^{-1}$, $tQ=V(t\Lambda) V^{-1}$. Entonces usted recibirá $$\exp(tQ)=V\exp(t\Lambda)V^{-1}$$ donde $\exp(t\Lambda)$ es fácil de conseguir.

Para un degenerado $2\times 2$ matriz $Q$, no es necesario calcular los autovalores por el polinomio característico. Uno de ellos debe ser $\lambda_1=0$, y en el otro es $\lambda_2=\operatorname{trace}(Q)$.