¿Por qué es $0^0$ indefinido al $x^x=1$ $x$ enfoques $0$?

Question

Esta pregunta nació en otro post, disponible aquí. Creo $0^0=1$, debido a $x^x$ es continua como $x$ enfoques $0$. Considere la posibilidad de $\lim_{x \to 0}x^x$. Deje $$f(x_n)=\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^{\frac{1}{x}}$$ que $$y=\bigg(\frac{1}{x}\bigg)^{\frac{1}{x}}$$ $$ln(y)=\frac{1}{x}ln\bigg(\frac{1}{x}\bigg)=\frac{1}{x}(ln1-lnx)=\frac{1}{x}(0-lnx)=-\frac{lnx}{x}$$ Ahora, usando la regla de L'Hospital, $$\lim_{x\to\infty}\bigg(-\frac{lnx}{x}\bigg)=\lim_{x\to\infty}\bigg(-\frac{\frac{1}{x}}{1}\bigg)=\lim_{x\to\infty}\bigg(-\frac{1}{x}\bigg)=0$$ Ahora, $$\lim_{x\to\infty}f(x_n)=\lim_{x\to\infty}y=\lim_{x\to\infty}e^{lny}=\lim_{x\to\infty}e^{-\frac{1}{x}}=e^0=1$$ Por lo tanto, $$0^0=\lim_{x\to 0}x^x=\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to\infty}f(x_n)=1$$ For something to be well-defined, it needs to act similarly in different configurations. $0^0=0^{c-c}=\frac{0^c}{0^c}=\frac{0}{0}$, and I understand the convention which says that $\frac{0}{0}$ is undefined, whereas $\frac{nada}{nada}=1$ (even $\frac{\infty}{\infty}=1$ when we are taking limits of functions), but is that purely a matter of convention? If a majority of mathematicians decide that $\frac{0}{0}=1$, hemos cambiado la convención? Donde está la matemática en todo esto?

El núcleo de mi confusión es una simple pregunta: ¿Cuál ES cero? Es un número, o se recurre a un concepto diferente?

Si previamente se han dado a este tema un poco de pensamiento y de atención a compartir sus puntos de vista, yo estaría más que agradecido!

Answer 1

Bueno, también tiene que $x^{\log 3 / \log x}$ es continua como $x$ (e $\log 3 / \log x)$ enfoques $0$, e incluso la función constante que es $3$ cualquier $x$, por lo que su razonamiento $0^0$ debe $3$.

Para decirlo sin rodeos, la función de $(x,y) \mapsto x^y$ no puede ser extendida continuamente en$(0,0)$, por lo que no vas a convencer a nadie por un argumento de continuidad de una función.

También, tenga en cuenta que $(x,y) \mapsto \frac xy$ $(0,0)$ está en la misma situación. O también se $(x,y) \mapsto x^\frac 1y$$(1,0)$.

Answer 2

Uno de los problemas, $\frac{\infty}{\infty}$ no siempre es $1$, por ejemplo, $\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x+a}}{e^{x}}=e^a\neq1$ si $a=0$.

Así que ¿por qué debería $\frac{0}{0}$ ser diferentes?

Además, considere la posibilidad de $0=5\cdot0$, siempre cierto para los números reales, pero en este caso $\frac{0}{0}=5$ $1$

Answer 3

Ver 1:

Mostrando que $x^{x}$ enfoques 1 como el valor positivo x se arbitrariamente cercano a cero, no prueba que lo $0^{0} = 1$. La variable x tiene un valor cercano a cero, es diferente tener un valor de exactamente cero. Resulta que $0^{0}$ es indefinido. $0^{0}$ no tiene un valor.

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Ver 2: Para todos los $x>0$, tenemos

$$0^{x} = 0.$$

Por lo tanto,

$$\lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = 0$$ Es decir, a medida que x se arbitrariamente cerca de $0$(pero sigue siendo positivo), $0^{x}$ se queda en $0$. Por otro lado, para los números reales y tales que $y \ne 0$, tenemos que $$y^{0} = 1$$ Por lo tanto, $$\lim_{y \to 0} y^{0} = 1$$ Que es, como y se pone arbitrariamente cerca de $0$, $y^{0}$ se queda en 1. Por lo tanto, vemos que la función de $f(x,y) = y^{x}$ tiene una discontinuidad en el punto de $(x,y) = (0,0)$. En particular, cuando nos acercamos a $(0,0)$ a lo largo de la línea con $x=0$ tenemos $$\lim_{y \to 0} f(0,y) = 1$$ pero cuando nos acercamos a $(0,0)$ a lo largo del segmento de línea con $y=0$ $x>0$ obtenemos: $$\lim_{x \to 0^{+}} f(x,0) = 0$$ Por lo tanto, el valor de $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} y^{x}$$ is going to depend on the direction that we take the limit. This means that there is no way to define $0^{0}$ that will make the function $y^{x}$ continuous at the point $(x,y) = (0,0)$.

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Ver las 3: Cero elevado a la potencia cero es igual a uno. No, en serio, es cierto.

Vamos a considerar el problema de la definición de la función $f(x,y) = y^x$ para enteros positivos y y x. Hay una serie de definiciones que dan resultados idénticos. Por ejemplo, una idea es el uso de nuestra definición: $$y^x := 1 \times y \times y \cdots \times y$$ donde el y se repite x veces. En ese caso, cuando x es uno, y se repite sólo una vez, por lo que tenemos $$y^{x} = 1 \times y$$ Sin embargo, esta definición se extiende naturalmente a partir de los enteros positivos para los enteros no negativos, de modo que cuando x es cero, y se repite cero veces, dando $$y^{0} = 1$$ que vale para cualquier y. Por lo tanto, cuando y es igual a cero, tenemos $$0^0 = 1$$ Hemos demostrado que $0^0 = 1$, Pero esto es sólo para una posible definición de $y^x$. Lo que si hemos utilizado otra definición? Por ejemplo, suponga que se decide definir $y^x$ $$y^x := \lim_{z \to x^{+}} y^{z}$$ En palabras, lo que significa que el valor de $y^x$ es lo $y^z$ enfoques como el número real z se hace más pequeño y más pequeño que aproxima el valor de x arbitrariamente cerca.Curiosamente, el uso de esta definición, tendríamos $$0^0 = \lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 0 = 0$$

Por lo tanto, nos encontraríamos con que $0^0 = 0$ en lugar de $0^0 = 1$. Por supuesto, esta definición hemos utilizado se siente poco natural, pero no está de acuerdo con el sentido común de la noción de lo $y^x$ significa que para todos los números reales positivos x e y, y lo hace de preservar la continuidad de la función a medida que nos acercamos $x=0$ $y=0$ a lo largo de una línea determinada.

Así que de estas dos definiciones (si cualquiera de ellos) es correcto? ¿Qué es $0^0$ realmente? Así, por $x>0$ $y>0$ sabemos lo que queremos decir por $y^x$. Pero cuando $x=0$$y=0$, la fórmula no tiene un significado obvio. El valor de $y^x$ va a depender de nuestra opción preferida de la definición de lo que queremos decir con esa declaración, y nuestra intuición acerca de lo $y^x$ significa que para valores positivos no es suficiente para la conclusión de lo que significa para los valores cero.

Pero si este es el caso, entonces ¿cómo pueden los matemáticos afirman que $0^0=1$? Bueno, simplemente porque es útil para hacerlo. Algo muy importante de fórmulas se vuelven menos elegante de escribir si que en lugar de utilizar $0^0=0$ o si decimos que $0^0$ es indefinido.

$$(a+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} a^k b^{x-k}$$

Por lo tanto, si no hacemos uso de $0^0 = 1$, entonces el teorema del binomio no se mantienen cuando se $a=0$ porque $b^x$ no es igual a $0^0 b^{x}$.

Si los matemáticos fueron el uso de $0^0 = 0$, o decir que $0^0$ no está definido, entonces el teorema del binomio continuará celebrando (en cierta forma), aunque no se como está escrito más arriba. En ese caso aunque el teorema sería más complicado porque tendría que manejar el caso especial de que el término correspondiente a $k=0$. Ganamos la elegancia y la simplicidad mediante el uso de $0^0 = 1$.

Hay algunas otras razones por las que el uso de $0^0 = 1$ es preferible, pero que se reducen a la elección de ser más útil que las opciones alternativas, que conduce a la más simple teoremas, o sentirse más "natural" para los matemáticos. La elección no es "derecho", es simplemente agradable.

Answer 4

$0^0$ está bien definido si se define como la $0^0=\lim_{x\to 0}(x^x)$ . En este caso,$0^0=1$.

$0^0$ no está definido si se define como la $0^0=\lim_{x\to 0 \text{ and } y\to 0}(x^y)$ , si no hay relación entre el $x$ $y$ es especificado.

Si la relación entre el $x$ $y$ es especificado, el límite pasa a ser definida. A continuación, el valor correspondiente de $0^0$ pasa a ser definida y puede ser cualquier número o $\infty$ , dependiendo de la relación. Varios ejemplos se muestra en las respuestas anteriores y muchos se pueden encontrar en las publicaciones. Por ejemplo:

http://fr.scribd.com/doc/14709220/Zero-puissance-zero-Zero-to-the-Zeroth-Power

Es un non-sens para pedir el valor de $0^0$ sin refiriéndose a un particular y la definición completa de $0^0$. Cada una definición particular de la $0^0$ puede ser utilizado en un limitado dominio de las matemáticas, de acuerdo a la definición específica de las $0^0$.

Answer 5

Sabemos que $x^0 = 1$ todos los $x \neq 0$ $0^y = 0$ todos los $y \neq 0$.

¿Qué sucede cuando estos dos casos chocan?

Tenemos diferentes límites, y por lo $0^0$ no está bien definida