Si las matrices $A^3 = 0$ , $B^3=0$ y $AB=BA$ entonces muestra esto:

Question

La pregunta: Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo tipo tales que $A^3=0$ , $B^3=0$ y $AB=BA$ . Demuestre que $$\left(I+A+\frac{A^2}{2!}\right)\left(I+B+\frac{B^2}{2!}\right)=I+(A+B)+\frac{(A+B)^2}{2!}+\frac{(A+B)^3}{3!}+\frac{(A+B)^4}{4!}$$

Así es como empecé. $$\left(I+A+\frac{A^2}{2!}\right)\left(I+B+\frac{B^2}{2!}\right)=I+(A+B)+\frac{A^2+B^2}{2!}+AB+\frac{AB^2}{2!}+\frac{A^2B}{2!}+\frac{A^2B^2}{2!2!}$$ Intenté conseguir $$\frac{A^2+B^2}{2!}+AB+\frac{AB^2}{2!}+\frac{A^2B}{2!}+\frac{A^2B^2}{2!2!}$$ sea igual a $$\frac{(A+B)^2}{2!}+\frac{(A+B)^3}{3!}+\frac{(A+B)^4}{4!}$$ Pero no lo consigo.

Answer 1

Lo haría sin fuerza bruta:

1. Desde $A^3=0$ tenemos $$ e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}. $$ Similares para $B$ .
2. El lado izquierdo de la expresión es entonces $e^Ae^B$ . Para matrices conmutativas se cumple que $$ e^Ae^B=e^{A+B}. $$
3. Por último, observe que si $A^3=B^3=0$ y $AB=BA$ entonces $(A+B)^5=0$ (por ejemplo, haga la expansión binómica y compruebe que obtiene al menos $A^3$ o $B^3$ en todos los términos). Así pues, el lado derecho es precisamente $e^{A+B}$ .

Answer 2

Intenta ampliar el lado derecho en su lugar. Tienes

\begin{align} \frac{1}{2}(A + B)^2 &= \frac{1}{2}A^2 + AB + \frac{1}{2}B^2\\[1mm] \frac{1}{6}(A + B)^3 &= \frac{1}{2}A^2B + \frac{1}{2}AB^2\\[1mm] \frac{1}{24}(A + B)^4 &= \frac{1}{4}A^2B^2, \end{align} donde he utilizado $A$ y $B$ así como $A^k = B^k = 0$ para todos los números enteros $k \geq 3$ . Sumando todo te da la de

Answer 3

Basta con hacer coincidir los términos de segundo orden, tercer orden y cuarto orden con los términos correspondientes de la respuesta:

Para los términos de segundo orden: por multiplicación $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ y utilizando $AB=BA$ vemos que $$ \frac{(A+B)^2}{2!} = \frac{A^2+B^2}{2} + AB $$

Para los términos de tercer orden tenemos por multiplicación $(A+B)^3 = A^3 + (A^2B+ABA+B^2A) + (AB^2+BAB+B^2A) + B^3$ . Por $A^3=B^3=0$ esto se convierte en $(A+B)^3=(A^2B+ABA+B^2A) + (AB^2+BAB+B^2A)$ y utilizando $AB=BA$ da $(A+B)^3=3(A^2B+AB^2)$ . La propiedad de conmutatividad simplemente nos permite reordenar los términos en las multiplicaciones. Por lo tanto $$ \frac{(A+B)^3}{3!}=\frac{A^2B+B^2A}{2!} $$ .

Por último, para el término de cuarto orden observamos que por conmutatividad tenemos $$ (A+B)^4 = A^4+4A^3B+6A^2B^2+4AB^3+B^4 $$ Desde $A^3=B^3=0$ sólo queda el término medio. Por lo tanto $$ \frac{(A+B)^4}{4!} = \frac{A^2B^2}{2!2!}. $$