Discontinuidad de $\sin(\frac{1}{x})$

Question

He oído y leído en muchos libros que la función

$$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$$

es discontinuo en $x=0$ ya que como $x$ tiende a cero, la función "oscila" rápidamente, es decir, para números muy cercanos el número toma valores como $-1$ y $1$ por lo que no podemos definir un límite. Pero también he leído que la continuidad de una función se define sólo sobre su dominio. Entonces, ¿por qué definimos la continuidad de $\sin(\frac{1}{x})$ si $x=0$ no se encuentra en su dominio?

Answer 1

En realidad, lo que puede haber oído es que la función: $$f(x)=\left\{\begin{array}\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq0\\ 0 & x=0\end{array}\right.$$ no es continua en $x=0$ . Además, esta función no es continua para todo número $a$ se puede sustituir $f(0)$ con.

Aunque pueda ser inexacto, muchos acostumbran a nombrar la función anterior igual que $\sin\frac{1}{x}$ sin referirse a $f(0)$ . Es más exacto decir lo siguiente:

La función $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ , $x\neq0$ no puede ser ampliado a una función continua en $\mathbb{R}$

Lo anterior significa que no puede encontrar un número $a\in\mathbb{R}$ de tal manera que dejando $\tilde{f}(0)=a$ haría la función:

$$\tilde{f}(x)=\left\{\begin{array}\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq0\\ a & x=0\end{array}\right.$$

sea continua en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Esta función es efectivamente continua dentro de su dominio, y en algunos contextos es razonable decir simplemente que es continua y dejarlo así.

Sin embargo, el número $0$ es un punto límite del dominio y, por tanto, se plantea la cuestión de si es posible extender esta función a una función que sea continua en ese punto límite. Si no fuera un punto límite del dominio, entonces sería vacuamente cierto que se puede extender así.

La función $x\mapsto\dfrac {\sin x} x $ es indefinido en $0,$ excepto que en algunos contextos se considera que tiene el valor $1$ en $0$ porque es la única forma de extenderla a una función continua en ese punto límite de su dominio. (Y esa función continua extendida no sólo es continua, sino que se comporta muy bien, en el sentido de que es una función entera).

Answer 3

La frase "(des)continua en $x$ " se utiliza de diferentes maneras en los libros de cálculo y en las matemáticas. Esto no es sorprendente, porque de hecho la propia palabra "función" se utiliza de forma diferente. En un libro de cálculo típico, una función no es un conjunto de pares ordenados, sino que se define como algo especificado por una "regla", y en la práctica "regla" parece significar "fórmula".

Esto puede ser malo o no; los estudiantes ya tienen bastantes problemas con la noción más ingenua de "función". Y, por supuesto, la historia está del lado de los libros de cálculo: una "función" para Euler y Fourier no era ciertamente un conjunto de pares ordenados.

La cosa se pone peor. He visto capítulos sobre la transformada de Laplace en textos de ecuaciones diferenciales donde la función $f$ definido por $$f(t)=\begin{cases}1,&(t<1), \\t,&(t\ge1).\end{cases}$$ se denomina función "discontinua", debido a la discontinuidad de la fórmula definir $f$ .

Answer 4

Decimos que una función $f(x)$ es discontinuo en un punto aislado $x=a$ si

• $\lim_{x\to a} f(x)$ existe pero $\lim_{x\to a} f(x)\neq f(a)$ ya que f(a) es diferente por el límite o ya que $f$ no se define en $x=a$ en este caso definimos que a discontinuidad removible

• $\lim_{x\to a^+} f(x)\neq \lim_{x\to a^-} f(x)$ en este caso nos referimos a un salto de discontinuidad

• $\lim_{x\to a} f(x)=\pm \infty$ uno o ambos lados, en este caso nos referimos a un discontinuidad infinita

En todos los demás casos definimos la discontinuidad como un discontinuidad esencial ese es exactamente el caso de $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ ya que el límite $x\to 0$ no existe en absoluto.