Simulando uniformemente en $S^1=\{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x\|_1=1\}$

Question

Un esquema para generar variantes aleatorias al azar distribuidas uniformemente en $S^2=\{x\in \mathbb{R}^n \mid \|x\|_2=1\}$ es bien conocido: generar una variable normal estándar en $\mathbb{R}^n$ y normalizar a la norma de la unidad.

¿Existe un procedimiento igualmente simple e inteligente para simular variantes aleatorias uniformemente distribuidas en el #% bola de $1$ #%?

Answer 1

$n$ Monedas justas para escoger una orthant del tirón, es decir, a los signos de las coordenadas del punto usted está eligiendo. Ahora Elija un punto uniformemente en el simplex estándary flip que los signos de sus coordenadas según las monedas de lo que te dijeron.

Answer 2

¿Realiza el siguiente trabajo? (leer el comentario de joriki para convencerse de que el algoritmo funciona---gracias joriki)

Cortar una línea de longitud 1 en $n$ partes. Matemáticamente, tiro $n-1$ números aleatorios entre uniforme entre 0 y 1. Ordenarlos para obtener $\mathbf{s}=(0,s_1, \dots, s_{n-1},1)$ $s_i \leq s_j$; $\forall i <j$.

Tomar el punto $\mathbf{x}= \left[\sigma_1(s_1- s_0), \sigma_2(s_2 - s_1), \dots, \sigma_n(s_n - s_{n-1})\right] \in S^1$. Aquí, $\sigma_i = \pm 1$ al azar son elegidos. Está bastante claro que $\mathbf{x}$ es en la esfera de la unidad. La pregunta sigue siendo: ¿es uniforme en la esfera?

Answer 3

Aquí está el método que se propone en el comentario. Elegir un punto al azar, $(x_1,\ldots,x_{n-1})$ de la $n-1$-dimensiones hipercubo. (Esto equivale a la elección de $n-1$ real en los números de manera uniforme en $[0,1]$)

Ahora, si $\sum_{i=1}^{n} x_i \geq 1$ lanzar el punto y empezar de nuevo, si no mantenerlo.

Transformar el punto mediante el siguiente afín mapa:

$$f:\mathbb{R}^{n-1}\to\mathbb{R}^{n}: (x_1,\ldots,x_{n-1}) \mapsto (x_1,\ldots,x_{n-1},1-\sum_{i=1}^{n} x_i) \; .$$

Ahora, de manera similar a lo Fabian, seleccione $n$ signos $\sigma_i=\pm 1$ al azar y multiplicar cada componente del vector obtenido por estos signos.

Como se ha señalado ya por joriki y Gerben, para grandes dimensiones, este método es muy derrochador, ya que una fracción de $\frac{(n-1)!-1}{(n-1)!}$ puntos tendrán que ser expulsados.