Demostrando una medibles función es constante en casi todas partes

Question

Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es medible y acotada y $$ \lim_{r\to0}\int_0^1\frac{|f(x+r)-f(x)|}rdx=0 $$ a continuación, $f$ es constante para una.e. $x\in[0,1]$.

No estoy seguro de cómo ir sobre demostrando que algo constante en casi todas partes. Una cosa que me probé fue asumiendo $f(x)=\lim\frac1{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}f(y)dy$ (lo cual es cierto en casi todas partes por la diferenciación de Lebesgue teorema) y luego resulta que $f$ es una constante en todas partes, pero esto no funcionó.

Answer 1

Desde $f$ es limitado y medibles,

$$F(x) = \int_0^x f(t) \,dt$$

es diferenciable y $F'(x) = f(x)$ en casi todas partes.

Tenemos

$$\begin{align}F(x+r) &= \int_0^{x+r}f(t) \, dt \\ &= \int_{0}^{r}f(t) \, dt +\int_r^{x+r} f(t) \, dt \\ &= \int_{0}^{r}f(t) \, dt + \int_{0}^{x}f(t+r) \, dt \end{align}$$

y

$$\tag{*}\frac{F(x+r) - F(x)}{r} = \frac{1}{r} \int_0^r f(t) \, dt + \frac{1}{r} \int_0^x[f(t+r) - f(t)] \, dt.$$

Tenga en cuenta que

$$\left| \frac{1}{r} \int_0^x[f(t+r) - f(t)] \, dt\right| \leqslant \int_0^x\frac{|f(t+r) - f(t)|}{r} \, dt \leqslant \int_0^1\frac{|f(t+r) - f(t)|}{r} \, dt $$

Por lo tanto, para cada $x$,

$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{r} \int_0^x[f(t+r) - f(t)] \, dt = 0$$

Ya que para casi todos los $x$,

$$F'(x) = \lim_{r \to 0} \frac{F(x+r) - F(x)}{r}$$

de ello se deduce que el límite de la primera integral en el lado derecho de (*) debe existir, y para casi todas las $x$,

$$f(x) = F'(x) = \lim_{r \to 0} \frac{1}{r} \int_0^r f(t) \, dt$$

Por lo tanto, $F$ es casi en todas partes una función lineal y $f$ es casi constante en todas partes.