$\int_{\Omega} |f_n-f||f_n| \, d \mu \to 0$ si $f_n \in L^1(\Omega)$, $f_n \to f$.

Question

Supongamos $f_n \to f$ $L^1(\Omega)$ donde $\mu(\Omega)=1$. Supongamos que $$\int_{\Omega} |f_n| \, d\mu \leq M$$ for all $$ n.

Es allí una manera de mostrar que la integral

$$\int_{\Omega} |f_n-f||f_n| \, d \mu \to 0$$ así?

Yo estaba pensando en la definición de un conjunto $A_N$ si $N$, $A(N) := \{ x \in \Omega : f_n (x) \geq N \, \text{for any} \,n \in \mathbb N \}$ y demostrando que $$\int_{\Omega} |f_n-f||f_n| \, d \mu \leq N\int_{\Omega \setminus A(N)} |f_n-f| \, d \mu + \int_{ A(N)} |f_n-f||f_n| \, d \mu$$ goes to $0$, but I'm not sure if I can show this. The thought is that $\mu(A(N))$ must get arbitrarily small as $$ N aumenta.

Ideas? Sugerencias? ¿Puedo utilizar el hecho de que si $h \in L^1$, entonces no existe $\delta$, de modo que si $\mu(E)<\delta$$\|h\|_1 <\epsilon$.

Answer 1

En general, no podemos esperar que

$$\int_{\Omega} |f_n-f| \cdot |f_n| \, d\mu \to 0;$$

aproximadamente, la razón es que el $L^1$-convergencia no implica $L^2$-convergencia.

(Contador)Ejemplo Considere el $((0,1),\mathcal{B}((0,1)))$ dotado con la medida de Lebesgue restringido a $(0,1)$ y

$$f_n(x) := n^{3/4} 1_{[0,1/n]}(x).$$

Entonces

$$\int |f_n(x)| \, dx = n^{-1/4} \xrightarrow[]{n \to \infty} 0$$

es decir, $f_n$ converge en $L^1$$f=0$. Esto también implica que $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_{L^1}<\infty$. Por otro lado,

$$\int |f_n(x)-f(x)| \cdot |f_n(x)| \, dx = \int |f_n(x)|^2 \, dx = n^{1/2}$$

no converge a $0$$n \to \infty$.