Cambio de función medible de Lebesgue a función de Borel

Question

Demuestre que si $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ es medible (con respecto a los conjuntos medibles de Lebesgue en $\mathbb{R}^2)$ entonces existe una función de Borel $g$ tal que $f(x)=g(x)$ para casi todos los $x\in\mathbb{R}^2$ (es decir, para todos los $x\in\mathbb{R}^2$ excepto un conjunto de medida cero).

Supongo que "función de Borel" significa funciones medibles por Borel.

Si es así, $g$ La medición de la perforación significaría que $g^{-1}(A)$ es un conjunto de Borel en $\mathbb{R}^2$ para todos los Borel $A\in\mathbb{R}$ . Y $f$ La medida de Lebesgue significaría que $f^{-1}(A)$ es un conjunto medible por Lebesgue en $\mathbb{R}^2$ para todos los Borel $A\in\mathbb{R}$ .

Teniendo en cuenta este escenario, es difícil ver cómo proceder. Puedo cambiar el valor de $f(x)$ para un subconjunto de medida cero en $\mathbb{R}^2$ y quiero obtener una función medible por Borel. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Todo conjunto medible por Lebesgue es la unión de un conjunto de Borel (se puede elegir un $F_\sigma$ para ello) y un conjunto nulo de Lebesgue.

El límite puntual de una secuencia de funciones medibles por Borel es medible por Borel.

Si se combinan los dos, se obtiene el resultado. Para $n \in \mathbb{N}$ y $k \in \mathbb{Z}$ , dejemos que

$$E_{n,k} = f^{-1}\left(\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n} \right)\right).$$

Descomponer $E_{n,k}$ en un conjunto de Borel $B_{n,k}$ y un conjunto nulo $N_{n,k}$ . Definir $g_n$ como $\frac{k}{2^n}$ en $B_{n,k}$ y como $0$ en $N_{n,k}$ . Demuestre que el $g_n$ es medible por Borel. Demuestre que $g_n \to f$ casi en todas partes.